原题

已知，如图，AB 是 ⊙O 的直径，CE、CF 是 ⊙O 的两条切线，D 是 AE 和 BF 的交点。

求证： AB⊥CD

一道切线和圆有关的几何证明题及解析解答

画出来动态调整图观察，结论没有问题。只是纯几何的证明太难。

一道切线和圆有关的几何证明题及解析解答

证明

解析的方法是现成的，像是中学可以理解的。只是过程很繁琐，所以，证明一下。

不失一般性（这个说法很酷），假设问题中的圆是单位圆、以圆心为原点建立平面直角坐标系，让直径 AB在纵坐标轴上，从而，两个点的坐标： A(0,−1),B(0,1)。

一道切线和圆有关的几何证明题及解析解答

假设单位圆⊙O 上两个切点的坐标 E(cosθ1,sinθ1),F(cosθ2,sinθ2)，则容易知道直线：

CE的斜率 −cotθ1, CF 的斜率 −cotθ2。两直线方程可以由点斜式改写为更一般的形式，联立如下：

{y - sin θ 1 = - (x - cos θ 1) cot θ 1 y - sin θ 2 = - (x - cos θ 2) cot θ 2 (1)

联立可以求出 C 的纵坐标：

y C = sin (12 (θ 1 + θ 2)) sec (12 (θ 1 - θ 2))

进一步，通过两点式表示方法并转化，可以得到另外两条直线，AE 和 BF 的方程的一般形式，注意到 A、B 的坐标都很简单，方程也不复杂：

{y + 1 = x sec θ 1 (sin θ 1 + 1) y - 1 = x sec θ 2 (sin θ 2 - 1) (2)

类似解出 D 点纵坐标，发现刚好等于 C 的纵坐标。

所以， CD 跟所建立坐标系中的纵坐标轴垂直，也就是跟 AB 垂直。解析方法，把几何里面的直线间垂直，转化成两个二元一次线性方程组之间有一个特定解(的解析形式)恒等。

求解和化简繁琐，关键是证明两者相等即可，线性方程组的解因此无须是最简形式。上面只能用于对答案了。

纯几何的证明如果能够利用射影几何的一些定理可行性会大大增加。有些超纲，但是在数学竞赛和自主招生考试中未尝不可。