这是2014年一月Methodology的1-3题。

第一题

希望今年的考试没有这种概念题！

第一个是对的，比较多正态总体的方差就是$F$F检验做的事情。
第二个不对，选择Bonferroni方法还是Scheffe方法取决于对多少个统计量做联合推断，如果是对比较多的统计量做联合推断就用Scheffe方法；否则就用Bonferroni方法。
第三个不对，Type I SS是sequential SS，要考虑进入模型的顺序；Type III SS才是不考虑顺序的。
第四个不对，虽然满足了$ar=bk$ar=bk的条件，但这只是必要条件。
第五个是对的，这是教材上的原话Pg304：
In many situations it is impossible to perform all of the runs in a 2 k factorial experiment under
homogeneous conditions. For example, a single batch of raw material might not be large
enough to make all of the required runs. In other cases, it might be desirable to deliberately
vary the experimental conditions to ensure that the treatments are equally effective (i.e.,
robust) across many situations that are likely to be encountered in practice. For example, a
chemical engineer may run a pilot plant experiment with several batches of raw material
because he knows that different raw material batches of different quality grades are likely to
be used in the actual full-scale process.
The design technique used in these situations is blocking.

这一张里面的第一个是错的，whole-plot factor是hard-to-change的，sub-plot factor是easy-to-change的；
关于Graeco-Latin设计的前三个都是错的，第四个是对的。Graeco-Latin设计应对的是有三个nuisance factor的情况，Latin Square设计才是两个；$a=5$a=5对应的总试验单位数目与Latin Square相同，仍然是$5^2$52；残差的自由度是$(a-1)(a-1-1-1)=8$(a−1)(a−1−1−1)=8，三个1分别是贡献给三个nuisance factor的；因此对model的F检验自由度是$(5^2-1-8,8) = (16,8)$(52−1−8,8)=(16,8)。这里附一个Graeco-Latin的ANOVA table帮助理解：

(h)是正确的，确定confounding factor的时候用的factor越多越好，所以从$I = ABCD$I=ABCD开始；
(i)不对，根据选最长的原理，应该是选择4，4 ，6那个。

第二题

第一小问的提示在Computer Output里面，Job和Operator都是random factor，并且Operator标识是Operator(Job)说明Operator这个factor是嵌套在Job这个factor中的，因此这是一个Nested Design。

第二小问：Statistical Model of this nested design is
$y_{ijk} = \mu + \tau_i + \beta_{j(i)} + \epsilon_{(ij)k}\\ \epsilon_{(ij)k} \sim_{iid}N(0,\sigma^2);i=1,\cdots,6;j=1,\cdots,3;k=1,\cdots,2 \\$yijk​=μ+τi​+βj(i)​+ϵ(ij)k​ϵ(ij)k​∼iid​N(0,σ2);i=1,⋯,6;j=1,⋯,3;k=1,⋯,2

where $\tau_i$τi​ indicates treatment effect of job $i$i and $\beta_{j(i)}$βj(i)​ indicates treatment effect of operator $j$j nested in job $i$i. （参考UA MATH571B 试验设计VI 随机效应与混合效应1写出假设）
$\tau_i \sim_{iid} N(0,\sigma_{\tau}^2),\beta_{j(i)} \sim_{iid} N(0,\sigma^2_{\beta})$τi​∼iid​N(0,στ2​),βj(i)​∼iid​N(0,σβ2​)
第三小问：将ANOVA table补充完整；
Job的自由度为$6 - 1=5$6−1=5，Operator的自由度为$6 \times (3-1)=12$6×(3−1)=12，残差的自由度是$3 \times 6 \times (2-1)=18$3×6×(2−1)=18；剩下的问题就很简单了

第四小问：要计算Job的treatment factor的方差，可以使用教材上的公式（14.12）


第五小问：要计算operator的方差，可以使用教材上的公式（14.11）


第六小问：我们可以看一下第三小问算出来的p值，然后得出结论，
P value of factor job is near zero, so we can reject null hypothesis that variability of effect of job is zero and conclude that the effects of jobs differ significantly. While p-value of factor operator nested in job is greater than .05, so we conclude the effects of different operators working for the same job are not significantly different.

第三题

第一问：两因子的析因设计自由度分析可以参考这张图

因此压强的自由度是$4-1=3$4−1=3，温度的是$3-1=2$3−1=2，第一个glm procedure没有用交互项，因此残差的自由度是$4\times 3 - 1 - 2 -3 = 6$4×3−1−2−3=6

第二问：有两个及以上因子的析因设计都需要检验因子效应的可加性，第二个glm procedure就是Tukey’s 检验的简易操作，用来检验可加性，SAS output的结果是q的p值超过了.05，因此拒绝原假设，得出因子效应具有可加性的结论，所以答案是
check the non-additivity of the model

第三问：这个我就不写了，参考课件Topic 11第29页，第四问问检验的名字可以说是Tukey’s test of nonadditivity也可以说Tukey’s one degree of freedom test，但不能只说Tukey’s test，因为treatment effect的配对比较还有Tukey检验和Tukey-Kramer检验。


第五问&第六问：看那个SAS output，有q的时候两个效应都是不显著的，并且q的p值说明因子是可加的，因此我们可以只关注第一个glm procedure的结果即可。