基于PCA的图像压缩实现

注：该内容为校内课程实验，仅供参考，请勿抄袭！
源码：PPCA-for-Image-Compession

摘要
随着计算机互联网的发展和数据的日益增长，如何高效的处理和传输海量数据成为大数据处理的瓶颈问题，尤其对于图像类数据，通常其占有空间大，包含信息量丰富，如何对图像数据进行压缩吸引广大研究者们的注意。本文通过调研PCA图像压缩的相关工作，认为当前方法依赖于整个数据集，压缩效率低、占据内存量大的问题，本文提出一种分片PCA（P-PCA）图像压缩算法，旨在通过对图像进行分片，并在每个分片上单独进行压缩。该方法既可以单独对一张图像进行压缩，且在较低的压缩率下依然保持很好的恢复效果。在NWPU VHR-10数据集上实验表明，我们的方法相比基线模型在压缩率、MSE、PSNR和SSIM指标上均达到最好效果。

PCA降维理论
主成成分分析用于对大规模数据进行降维的方法，其核心思路是考察样本或属性之间的相关性并进行空间变换，其秉持基本原则是最小化压缩率（或最小化MSE、最小化矩阵的秩），且保证压缩后的每个样本或属性至今线性不相关。直观理解则是选择方差较大的维度，因为方差越大包含的分布信息越明显，而方差越小，所有样本几乎聚集在一块，所以包含的分布信息很少。PCA理论则建立在上述描述的基础上，通过拉格朗日乘法推导而成，给出计算方法：
给定矩阵 $X\in\mathbb{R}^{m\times n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 分别表示矩阵的行列数。定义一个矩阵 $\bar{X}\in\mathbb{R}^{m\times n}$ 表示的均值：
基于PCA的图像压缩实现
则可以得到中心化矩阵 $X-\bar{X}$ 。根据协方差定义，可以得出该矩阵的协方差矩阵，记做：

其中：

因为 $C^{X}$ 是实值方阵，因此存在 $m$ 个特征向量和特征值，即：

因此可以得到由特征向量组成的特征矩阵，记做 $V=[v_1, v_2, ..., v_m]^{\mathbb{T}}\in\mathbb{R}^{m\times n}$ 。

特征矩阵的功能则是空间变换，即给定一个输入矩阵或向量，通过该特征矩阵可以变换到另一个特征空间，因此我们需要使用对输入矩阵进行变换，即:
基于PCA的图像压缩实现
在PCA中，首先根据特征值降序对特征向量排序，并挑选前 $k$ 个特征向量，此时 $k$ 可以满足 $\sum_{i=1}^{k}\lambda^{2}_{t}/\sum_{i=1}^{m}\lambda^{2}_{t}\geq\theta_0$ 。则组成的特征矩阵变为：

则有：

因此我们可以得到压缩后的可保存数据 $\bar{X}$ ， $Y_k$ 和 $V_k$ 。这三个矩阵可以通过（6）式恢复原始矩阵。因为 $X$ 与 $\hat{X}$ 不完全一样，因此称PCA是一种有损压缩。

PCA图像压缩
为了改进传统PCA图像压缩方法的缺陷，本文提出一种分片PCA图像压缩算法，旨在对单独对图像进行压缩，从而使得图像压缩过程中不依赖于其他图像，且适用于任意灰度或彩色图像。下面给出具体的实现细节

为了使得算法可以同时对灰度与彩色图像进行处理，首先进行图像标准化。考虑到不同图像可能拥有不同的尺寸，因此首先对图像的尺寸进行标准化，规范到相同尺寸，形成统一格式的图像数据集，记做 $I=\{I_1,I_2,...,I_N\}\in\mathbb{R}^{N\times m\times n\times d}$ ，其中 $N,m,n,d$ 分别表示图像的数量、宽、高和通道数， $d\in\{1, 3\}$ 。考虑对于一张图像 $I_t$ ，将其按照通道数展开为 $d$ 个 $m\times n$ 矩阵，并按列拼接为一个 $m\times(nd)$ 的矩阵，记做 $X$ 。

对于一张图像，由于不同区域内的信息之间会有一定的相关性，如图1和2所示。图1是原始的彩色图像，其来自卫星拍摄的机场俯视图，我们发现对于局部的区域的像素之间往往存在一定的相关性。例如如果对图像按照行进行划分，可以划分为多个分片，而每个分片由于区域缩小，可以形成局部区域的相关性。图2展示了原始图像的一个分片（蓝色区域），在这个分片内有诸多像素之间存在相关性，例如两个红色的平行四边形对应的分别是跑到和草坪，其所处的像素通常相关性很高，因此如果对局部的分片进行压缩。相比之前的2DPCA等直接对图像整体进行压缩的方法，分片后可以使得PCA仅需要关注该分片内的信息，而不会受到其他分片信息的干扰，从而可以有效的降低压缩率。

基于PCA的图像压缩实现
本文提出一种PCA算法，旨在实现对图像进行分段，算法流程图如下所示：

评价指标
（1）MSE：

（2）PSNR