主成分分析（Principal components analysis，以下简称PCA）是最重要的降维方法之一。在数据压缩消除冗余和数据噪音消除等领域都有广泛的应用。一般我们提到降维最容易想到的算法就是PCA，下面我们就对PCA的原理做一个总结。

1. PCA的思想

　　　　PCA顾名思义，就是找出数据里最主要的方面，用数据里最主要的方面来代替原始数据。具体的，假如我们的数据集是n维的，共有m个数据(x(1),x(2),...,x(m))(x(1),x(2),...,x(m))。我们希望将这m个数据的维度从n维降到n'维，希望这m个n'维的数据集尽可能的代表原始数据集。我们知道数据从n维降到n'维肯定会有损失，但是我们希望损失尽可能的小。那么如何让这n'维的数据尽可能表示原来的数据呢？

　　　　我们先看看最简单的情况，也就是n=2，n'=1,也就是将数据从二维降维到一维。数据如下图。我们希望找到某一个维度方向，它可以代表这两个维度的数据。图中列了两个向量方向，u1u1和u2u2，那么哪个向量可以更好的代表原始数据集呢？从直观上也可以看出，u1u1比u2u2好。

　　　　为什么u1u1比u2u2好呢？可以有两种解释，第一种解释是样本点到这个直线的距离足够近，第二种解释是样本点在这个直线上的投影能尽可能的分开。

　　　　假如我们把n'从1维推广到任意维，则我们的希望降维的标准为：样本点到这个超平面的距离足够近,或者说样本点在这个超平面上的投影能尽可能的分开。

　　　　基于上面的两种标准，我们可以得到PCA的两种等价推导。

2. PCA的推导:基于小于投影距离

　　　　我们首先看第一种解释的推导，即样本点到这个超平面的距离足够近。

　　　　假设m个n维数据(x(1),x(2),...,x(m))(x(1),x(2),...,x(m))都已经进行了标准化，即∑i=1mx(i)=0∑i=1mx(i)=0。经过投影变换后得到的新坐标系为{w1,w2,...,wn}{w1,w2,...,wn},其中ww是标准正交基，即||w||2=1,wTiwj=0||w||2=1,wiTwj=0。

　　　　如果我们将数据从n维降到n'维，即丢弃新坐标系中的部分坐标，则新的坐标系为{w1,w2,...,wn′}{w1,w2,...,wn′},样本点x(i)x(i)在n'维坐标系中的投影为：z(i)=(z(i)1,z(i)2,...,z(i)n′)z(i)=(z1(i),z2(i),...,zn′(i)).其中，z(i)j=wTjx(i)zj(i)=wjTx(i)是x(i)x(i)在低维坐标系里第j维的坐标。

　　　　如果我们用z(i)z(i)来恢复原始数据x(i)x(i),则得到的恢复数据x¯¯¯(i)=∑j=1n′z(i)jwj=Wz(i)x¯(i)=∑j=1n′zj(i)wj=Wz(i),其中，W为标准正交基组成的矩阵。

　　　　现在我们考虑整个样本集，我们希望所有的样本到这个超平面的距离足够近，即最小化下式：

　　　　将这个式子进行整理，可以得到: