损失函数

损失函数：逻辑回归如果使用和线性回归相同的损失函数，那得到的损失函数图像如下：

由函数图像看出，这是一个非凸函数（凸函数最重要的特征是局部最优解同时也是全局最优解），并不适用于做逻辑回归的损失函数。
我们对损失函数作出改变，得到全新的损失函数并得到其图像：


从图像看出，函数只有一个最小值，这个最小值是局部最小值同时也是全局最小值。这个损失函数是一个凸函数。
以二分类为例,输入结果要么或0或1，具体的损失函数如下：

分别画出y=1或y=0下的损失函数图像(默认 logx 的底是大于1的)


当y=1时，如果假设函数为1，则损失函数结果为0，如果假设函数趋向于0，则损失函数结果趋向于无穷大。
当y=0时，如果假设函数为0，则损失函数结果为0，如果假设函数趋向于1，则损失函数结果趋向于无穷大。
进一步的，对损失函数进行化简，并得到损失函数的完全形式如下：


对损失函数进行向量化表示结果如下：

---

梯度下降

梯度下降：梯度下降函数在线性回归和逻辑回归的形式是一样的，只是其中假设函数的形式不同。


注意：h的不同，(j=0,1,,,,,n)

---

逻辑回归中梯度下降的向量化表示：

注意g内向量乘积的结果对应上面1-m间求和结果

---

其他优化算法

究其梯度下降的目的就是计算J-theta和J-theta求偏导，也有一些其他优化算法能达到此目的，这里介绍共轭梯度（Conjugate gradient）、 变尺度法（BFGS）、L-BFGS。并与梯度下降做对比。

Andrew Ng用了fminunc和optimset函数来说明，对着俩个函数的解释见此博客。
fminunc函数和optimset函数的说明
http://blog.****.net/shiyongraow/article/details/76615729

---

多分类

多分类：分类问题中不只有二分类，还有多分类。对多分类的思想跟二分类是一样的，具体来说，就是把数据分为具体某一类和除去这类数据剩下的数据归为一类。依次按此思想进行分类，具体要分几类就要建立几个分类模型。以一个三分类为例说明一目了然。

从图中可以看出，进行三分类建立了三个分类模型，分别把具体某一类分开。