一、向量

线性代数紧紧围绕向量加法与数乘

向量的加减法看作坐标的移动

向量的数乘看作对向量的拉伸与缩短，称作缩放（scaling）

用数字描述向量时，都依赖于当前正在使用的基

两个向量数乘结果被称为两个向量的线性组合

线性的理解：如果固定其中一个标量，让另一个标量自由变化，所产生的向量的终点会描出一条直线

二、张成空间与线性相关性

张成空间：所有可以表示为给定向量线性组合的向量集合被称为给定向量的张成空间

两个向量的张成空间实际上是问：仅通过向量加法与数乘这两种基础运算，你能获得的所有可能向量的集合是什么，对于大部分二位向量，他们的张成空间是整个无限大的二维平面，但如果共线，他们的张成空间就是一条直线

在三维空间中，当缩放第三个向量时，它将前两个向量张成的平面沿它的方向来回移动从而扫过整个空间，如图：

对于第三个向量已经落在前两个向量张成的空间中或者两个向量恰好共线的情况，即一组向量中至少有一个是多余的，没有对张成空间做出任何贡献（你有多个向量，并且可以移除其中一个而不减小张成空间），称之为“线性相关”

但如果所有的向量都给张成空间增添了新的维度，则称之为“线性无关”

三、矩阵与线性变换

可以将线性变换看作是保持网格线平行并等距分布的变换

一个二维线性变换仅由四个数字完全确定，即变换后i hat 的两个坐标以及变换后j hat 的两个坐标，通常将这些坐标包装在一个2×2格子中，称之为2×2矩阵

线性变换

1、旋转

2、剪切shear

一个向量的坐标不变，另一个变化

如果矩阵的两列是线性相关的，那么这个线性变换将整个二维空间挤压到他们所在的一条直线上，也就是两个线性相关向量张成的一维空间

线性变换是操纵空间的一种手段，每当看到一个矩阵的时候，都可以将其解读为对空间的一种特定变换

四、矩阵乘法与线性变换复合

复合矩阵的变换称为剪切与旋转的复合变换，这一新的矩阵捕捉到了旋转然后剪切的总体效应，但它是一个单独的作用，而不是两个相继作用的合成

通常情况下，M₁M₂≠M₂M₁，如图：

五、行列式

二维空间中，考虑面积为1的特殊正方形，可知：行列式的本质是线性变换对面积产生改变的比例

只需要检验矩阵的行列式是否为0.就可以检验这个矩阵所代表的变换是否将空间压缩到更小的维度上：

空间取向反转：初始时，i hat在j hat的右边，如果经历一个线性变换后，j hat在i hat右边，则称为空间的取向发生了反转。

当空间取向发生反转时，行列式就为负值，其绝对值依然表示区域面积的缩放比例

三维空间中，考虑体积为1的特殊正方形，可知：行列式的本质是线性变换对体积产生改变的比例

行列式计算中，如果a,d 不为0，b,c只有一项为零，则最后得到一个平行四边形，面积为ad：

若b,c均不为0，那bc就会告诉你平行四边形在对角线方向上拉伸或者压缩了多少：

六、逆矩阵、列空间与零空间

Ax=v

A代表一种线性变换

求解 Ax=v 意味着我们去寻找一个向量x，使它在变换后与v 重合，即求A的逆变换，使得A^(-1)v=x

A逆乘A等于一个“什么都不做”的矩阵，这个变换被称作“恒等变换”

当变换的行列式为零时，此时没有逆变换，无法将一条线“解压缩”为一个平面

秩代表变换后空间的维数

列空间就是列张成的空间

秩的更精确的定义为列空间的维数

零向量一定包含在列空间中

对于一个满秩的变换来说，唯一能在变换后落在原点的就是零向量本身

而对非满秩的变换来说，它将空间压缩到一个更低的维度上，也就是说有一系列向量在变换后成为零向量

在变换后落在原点的向量集合，被称为所选矩阵的“零空间”或“核”