线程代数

行列式

最近在看pca的算法，发现自己大学的时候线性代数都还给老师了，复习一下的

二阶与三阶行列式

二元线性方程组与二阶行列式

就是想象二阶行列式，空间两个。 在字母的是 第一列和第二列的参数，后面的字母。

• 分别是空间第一个中最后一个，和取空间中第二个组合在一起。
• 剩下来的，又取在一起的

三阶行列式

图中有三条实现看做是平行于主对角线的连接，三条虚线看做是平行于虚对角线的连线，实际上实现上三个元素乘积冠以正号，虚线上三元素的乘积冠以负号。

全排列和对换

排列及其逆序数

把那个不同的元素排除一列，叫做这那个元素的全排列。 p=n*(n-1)*....*3*2*1=n!

对于那个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如那个不同的自然数，可规定从小到大为标准次序）。

当某一对元素的先后次序与标准次序不同时，就说它构成1个逆序，一个行列中所有的逆序的总数叫做这个排列的逆序数。

逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。

对换

在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不懂，这种做出新排列的手续叫做对换，

将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。

奇排列对缓存标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排序的对换次数为偶数

n阶行列式的定义

三阶行列式定义为 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31
容易看出：

这个三个元素定位于不同的行、不同的列，因此，任一项出正负号外可以写成a1p1a2p2a3p3.这里第一个下标排成标准次序123，而第二个下标p1p2p3,它是1，2，3三个数的某个排列，这样的排列共有6中，

• 带正号排列是 123,231,312
• 带负号排列是 132,213,321

前三个排列都是偶排列，而后三个排列都是奇排列。因此各项所带的正负号可以表示为(-1)^t,其中t为列标排列的逆序数

n阶行列式 det(aij)

简记作 det(aij)，其中数 aij为行列式 D 的(i，j)元.

主对角线以下(上)的元素都为0的行列式叫做上(下)三角形行列式,特别，主对角以下和以上的元素都为0的行列式叫做对角行列式。

行列式的性质

d^T称为行列式D的转置行列式

性质1：行列式和它的转置行列式相等

性质2：兑换行列式的两行(列)，行列式变号
其中1…i…j…n为标准排列，t为排列p1..pi…pj…pn的逆序数，设排列p1..pj..pi..pn的逆序数为t1，则(-1)^t=-(-1)^t1,故

D1=-D

推论：如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零

性质3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面

推论：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面

性质4：行列式中如果有两行(列)元素成正比例，则此行列式等于零

性质5：若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和。

d=|a1+b1,a2+b2,a3+b3…|=|a1,a2,a3|+|b1,b2,b3|

性质6:把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不必拿

行列式按行(列)展开

在n阶行列式中，把(i,j)元aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)的元aij的余子式

A32=(-1)^3+2M32=-M32

引理:一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除了(i,j)元aij外都为零，那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即:

D=aijAij

定理2：行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

这个定理叫做行列式按行(列)展开法则

推论：行列式某一行(列)的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于0

特别，当b1,b2…bn依次取为D=det(aij)的第i行各元素是，上式扔成立，但此时因Dj中第j行和第i行两个相同，故Dj=0.

我懂什么意思了，就是你换了元素的话，在整体中的运算，其实都是混乱了，也就是说，你替换到得到的值和你没有替换得到的值是一样的，也就是说这两行对应的值是相等的。
将第i行加到第j行上（行列式值不变），再将行列式按第j行张开，得

D = （aj1 + ai1）Aj1 + （aj2 + ai2）Aj2 + ……+ （ajn + ain）Ajn

>

= D + （ai1Aj1 + ai2Aj2 + …… + ainAjn）

所以上式后面部分为0

矩阵及其运算

线性方程式和矩阵

线性方程组

当常数项b1,b2,…bn不全为零时，线程方程组叫做n元非齐次线性方程组。

当常数项b1,b2,…bn全为零是，线程方程组叫做n元齐次线性方程组。

当时n元齐次线性方程组 x1=x2=x3…=xn=0.这个解叫做齐次线性方程组的零解。

矩阵的定义

定义1 有m*n个数aij排除的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m*n矩阵。

这m*n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列。称为矩阵A的（i，j）元

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是负数的矩阵称为复矩阵.

行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。

只有一行的矩阵称为行矩阵，又称为行向量。

只有一个列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量

两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵，对应的元素相等，那么就称矩阵A和矩阵B**相等**。

元素都是零的矩阵称为零矩阵。记作O。

对于非齐次线性方程组，
A是系数矩阵，x称为未知数矩阵，b称为常数项矩阵，B称为增广矩阵

表示一个从变量x1，x2,…x到变量y1,y2,…ym的线性变换，其中aij为常数

这个方阵的特点是:从左上角到右下角的直线（叫做对角线）以外的元素都是0,这个方阵称为对角矩阵，简称为对角阵。

A =diag(λ1，λ2，...，λn);

特别当λ1=λ2=。。=1时的线性变换叫恒等变换，它对应的n阶方阵叫做n阶单位矩阵，单位阵 E 的(i，j)元eij

这个表达式的意思 是x在x轴的阴影，y轴则没有。

矩阵的运算

矩阵的加法

定义2 设有两个m*n矩阵A=(aij)和B=(bij),那么矩阵A与B的和记作A+B

应该注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。矩阵加法满足下列运算规律：

• A+B=B+A
• (A+B)+C=A+(B+C)

设矩阵A=(aij),记 -A=(-aij) -A称为矩阵A的负矩阵，显然有 A+(-A)=O。

由此规定矩阵的减法为A-B=A+（-B）

数与矩阵相乘

定义3 数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ

• λμ)A =λ(μA)
• (λ+μ)A =λA +μA
• λ ( A + B ) = λ A + λ B

矩阵与矩阵相乘

矩阵相乘，就是如你想象那样，两个矩阵的相互碰撞。

定义4 设A=(aij)是一个m*s矩阵，B=(bij)是一个s*n矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m*n矩阵C=(cij)

cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj= ∑ aikbkj

按此定义， 一个1*s行矩阵与一个s*1列矩阵的乘积是一个1阶方阵，也就是一个数。

由此表明乘积矩阵AB=c的(i,j)元Cij就是A的第i行与B的第j列的乘积。

矩阵的乘法不满足交换律，AB!=BA

对于两个n阶方阵A、B，若AB=BA，则称方阵A与B是可交换的

矩阵λE=…,称为纯量阵，

有了矩阵的乘法，就可以定义矩阵的幂，显然只有方阵的幂才有意义。

矩阵的转置

定义5:把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵的，叫做A的转置矩阵

• (AT)T =A
• (A+B)T =AT+BT
• (λA)T =λA T
• (AB)T =BTAT.

对称矩阵:它的元素以对角线为对称轴对称相等

方阵的行列式

定义6 有n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，称为方阵A的行列式，记做detA 或|A|

方阵和行列式是两个不同的概念，n阶方阵是n^2个数按一定方式排成的数按一定方式排除的数表，而n阶行列式则是这些书按一定的运算法则所确定的一个数。

• |AT|=A(行列式性质1);
• |λA|=λ^n|A|;
• |AB|=|A||B|.

行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下的矩阵
。。。
称为矩阵A的伴随矩阵的，简称伴随阵。

逆矩阵

逆矩阵的定义、性质和求法

在数的乘法中，对不等于零的数α总存在唯一的数b，使ab=ba=1，此书b即是a的倒数，即b=1/a=a^-1,利用倒数，数的除法可转化为乘积的形式:x/a=x*1/a.

定义7 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，AB=BA=E， 使则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵

如果矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是唯一的，这时因为：若B、c都是A的逆矩阵，则有
B=BE=B(AC)=(BA)c=EC=c所以A的逆矩阵是唯一的。

A的逆矩阵记作A^-1,即若AB=BA=E则B=A^-1

定理1 若矩阵A可逆，则|A|!=0

定理2 若|A|!=0,则矩阵A可逆，且A^-1=1/|A|A*

当|A|=0时，A称为奇异矩阵，否则称非奇异矩阵，由上面两定理可知:A是可逆矩阵的充分必要条件是|A|!=0,即可逆矩阵就是非奇异矩阵。

推论:若AB=E(或BA=E),则B=A^-1

逆矩阵满足下述运算规律：
- 若A可逆，则A^-1亦可逆，且(A^-1)^-1=A
- 若A可逆，数λ!=0,则λA可逆，且(λA)^-1=1/λA^-1
- 若A、B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且(AB)^-1=B^-1A^-1

克拉默法则

克拉默法则：如果线性方程组的系数矩阵A的行列式不等于零

第3章 矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵的初等变换

定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换

• 对换两行(对换i,j两行，记作ri<->rj)
• 以数k!=0乘某一行中的所有元(第i行乘k,记作ri*k)
• 把某一行所有的元的k倍加到另一行对应的元上去(第j行的k倍加到第i行上，记作ri+krj)

把定义中的行换成列，即得矩阵的初等列变换的定义

矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换

如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作A~rB，如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A和B列等价，如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等阶。

矩阵之间的等价关系具有下列性质:

• 反身性 A~A
• 对称性 若A~B，则B~A
• 传递性 若A~B,B~C 则 A~C

它的左下方的元全为0;每段竖线的高度为一行，竖线的右方的第一个元为非零元，称为该非零行的首非零元，具有这样特点的矩阵称为行阶梯形矩阵，为明确起见给出如下定义：

定义2 1非零矩阵若满足 1.1 非零行在零行的上面 1.2 非零行的首非零行所在列在上一行(如果存在的话)的首非零元所在列的右面，则称此矩阵为行阶梯形矩阵

若A是行阶梯形矩阵，并且还满足 1.1 非零行的首非零元为1 1.2 首非零元所在的列的其它元均为0，则称A为行最简形矩阵

对行最简形矩阵再施以初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵，称为标准形

定理1 设A与B为M*N矩形

• A~B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使PA=B
• A~B的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使得AQ=B
• A~B的充分必要条件是存在M阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=B

定义3 有单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

初等矩阵，第i，j两行对换，得初等矩阵，用m阶初等矩阵Em左乘矩阵A。
相等于，矩阵的中的两行进行了对调

性质1 设A是一个M*N矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于A的左边乘相应的M阶初等矩阵，对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘相应的n阶初等矩阵;对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘相应的n阶初等矩阵

性质2 方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵p1,p2…pn,使A=p1p2…

推论 方阵A可逆的充分必要条件是A~E

矩阵的秩

定义4 在m*n矩阵A中，任取k行与k列，位于这些行列交叉处的k^2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式

m*n矩阵A的k阶子式共有Cm k * Cn k个

引理 设A~B，则A与B中非零子式的最高阶数相等

定义5 设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r+1阶子式全等于0，那么d称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩。记作R(A),并规定零矩阵的秩等于0

定理2 若A~B，则R(A)=R(B)

推论 若可逆矩阵p、q使PAQ=B,则R(A)=R(B)

• 0<= R(Am*n)<= min{m,n}
• R(AT)=R(A)
• 若A~B，则R(A）=R(B)
• 若P,Q可逆，则R(PAQ)=R(A)

线性方程组的解

定理3 n元线性方程组Ax=b

• 无解的充分必要条件是R(A)

向量组的线性相关性

定义1 n个有次序的数a1，a2,…所组成的数组称为n维向量，这个n歌数称为该向量的n个分量，第i个数ai，称为第i个分量

若干个同维数的列向量所组成的集合叫做向量组

**定义2 给定向量组A:a1,a2,..am,对于任何一组实数k1,k2,..km表达式 k1a1+k2a2+…+kmam 称为向量组A的一个线性组合，k1,k2…km
称为这个线性组合的系数**

向量b能有向量组A线性表示

定理1 向量b能由向量组A: a1,a2,..am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2…am)的秩等于矩阵B=(a1,a2…am,n)的秩

定义3 有两个向量组A:a1,a2…am及B:b1,b2….bl，若B组中的每个向量都能有向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示，若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价

定理2 向量组B:b1,b2,…bl能由向量组A:a1,a2,..am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,…am)的秩等于矩阵(A,B)=(a1,a2…am,b1,…bl)的秩，即R(A)=R(A,B）

推论 向量组A:a1,a2…am与向量组B:b1,b2,…bl等价的充分必要条件： R(A)=R(B)=R(A,B),其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵

定理3 设向量组B:b1,b2,b3…bl能由向量组A:a1,a2,…am线性表示，则R(b1,b2,…bl)<=R(a1,a2,…am)

向量组的线性相关性

定义4 给定向量组A:a1,a2,…am;如果存在不全为零的数k1,k2,..km使 k1a1+k2a2+….+kmam=0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关

它线性相关的充分必要条件是a1,a2的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线，三个向量线性相关的集合意义是三向量共勉。

定理4 向量组A:a1,a2,…am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(a1,a2,…am)的秩小于向量个数m；向量组A线性无关的充分必要条件是R(A)=m

定理5 1若向量组A:a1,…am线性相关，则向量组B:a1,…am，am+1也线性无关，反之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关

定理5 2 m个n维向量组成的向量组，当维度n小于向量个数m时一定线性相关，特别地n+1个n维向量一定线性相关

定理5 3 设向量组A:a1,a2…am线性无关，而向量组B:a1,…,am,b线性相关，则向量b必能有向量组A线性表示，且表示式是唯一的

向量组的秩

定义5 1设有向量组A，如果在A中能选出r个向量a1,a2,..ar线性无关2向量组A中任意r+1向量都线性相关，那么成向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组，最大无关组所含向量个数r称为向量组A的值

推论 设向量组A0:a1,a2,…ar是向量组A的一个部分组，且满足：

• 向量组A0线性无关
• 向量组A的任意向量都能由向量组A0线性表示，那么向量组A0便是向量组A的一个最大无关组。

定理6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩
定理2 向量组b1,b2,…bl能由向量组a1,a2,…am线性表示的充分必要添加是R(a1,a2,…,am)=R(a1,a2,a3,…am,b1,b2…bl)

定理3 若向量组B能由向量组A线性表示，则RB<=RA

线性方程组的解的结构

性质1 若x=ξ1，x=ξ2 为向量方程(2)的解，则x=ξ1+ξ2 也是向量方程(2) 的解.

性质2 若x=ξ1 为向量方程(2)的解，k为实数，则x=kξ1 也是向量方程 (2)的解.

定理7 设m*n矩阵A的秩R(A)=r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集s的秩Rs=n-r

性质3 设x=η1 及x=η2 都是向量方程(5)的解，则x=η1-η2 为对应的齐 次线性方程组

向量空间

定义6 设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于向量的加法及数乘两种预算封闭，那么就称集合V为向量空间

所谓封闭，是指在集合V中可以进行向量的加法及数乘两种运算，具体地说，就是:若 若 a ∈ V ， b ∈ V ， 则 a + b ∈ V ; 若 a ∈ V ，λ ∈ R ， 则 λ a ∈ V

定义7 设有向量空间V1 及V2，若 ，就称V1 是V2 的子空间.

定义8 设V为向量空间，如果r个向量 a1，a2，…，ar∈ V，且满足

• a1,a2,…ar线性无关
• V中任意向量都可由a1,a2,…ar线性表示

那么，向量组a1，a2,…ar就称为向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间

**定义9 如果在向量空间V中取定一个基a1，a2，…，ar，那么V中任一向量
x 可惟一地表示为
x=λ1a1 +λ2a2 +…+λrar**

相似矩阵及二次型

向量的内积、长度及正交性

[x,y]称为向量x和y的内积

方阵的特征值与特征向量

定义6 设A施n阶矩阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么，这样的数λ称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量(A-λE)x=0

上式是以λ为未知数的一元n次方程，称为矩阵A的特征方程，其左端|A-λE|是λ的n次多项式，记作f(λ），称为矩阵A的特征多项式。显然，A的特诊值就是特征方程的解，特征方程在负数范围内恒有解，其个数为方程的次数，因此，n阶矩阵A再负数范围内有n个特征值。

定理2 设λ1,λ2…λm是方阵A的m个特征值p1,p2,…pm依次是与之对应的特征向量，如果λ1,λ2,…λm各不相等，则p1,p2…pm线性无关

推论 设λ1 和λ2 是方阵A的两不同特征值，ξ1，ξ2，…，ξs 和η1，η2，…，ηt 分别是对应于λ1 和λ2 的线性无关的特征向量，则ξ1，ξ2，…，ξs，η1，η2，…，ηt 线 性无关.(证明留作习题.)

相似矩阵

设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵p，是P^-1AP=B,则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似，对A进行运算P^-1AP称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵

定理3 若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值亦相同

定理4 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量