信号与系统

1. 连续时间和离散时间信号

1.1. 连续时间和离散时间信号的定义

连续时间信号的自变量是连续可变的，信号在自变量的连续值上都有定义；而离散时间信号的自变量仅仅定义在离散时刻点上，也就是自变量仅取在一组离散值上。

为了区分这两类信号，我们用 $t$t 表示连续时间变量，而用 $n$n 表示离散时间变量。连续时间信号表示为 $x(t)$x(t)，离散时间信号表示为 $x[n]$x[n]。

1.2. 信号的能量和功率

连续时间信号在 $t_1 \leqslant t \leqslant t_2$t1​⩽t⩽t2​ 内的总能量定义为：
$\int_{t_1}^{t_2} |x(t) |^2 dt$∫t1​t2​​∣x(t)∣2dt
而平均功率即为总能量在区间内的平均值。

相类似，离散时间信号在 $n_1 \leqslant n \leqslant n_2$n1​⩽n⩽n2​ 内的总能量定义为：
$\sum_{n=n_1}^{n_2} |x[n] |^2$n=n1​∑n2​​∣x[n]∣2

此外，我们还可以将其扩展到无穷空间内，针对连续时间信号，其能量和功率有：

$E_{\infty} \triangleq \lim_{T \to {\infty}} \int_{-T}^{T} |x(t) |^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t) |^2 dt$E∞​≜T→∞lim​∫−TT​∣x(t)∣2dt=∫−∞∞​∣x(t)∣2dt
$P_{\infty} \triangleq \lim_{T \to {\infty}} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t) |^2 dt$P∞​≜T→∞lim​2T1​∫−TT​∣x(t)∣2dt

2. 自变量的变换

2.1. 自变量变换举例

• 时移 对信号在 X 轴方向平移
  

• 时间反转 对信号沿 Y 轴方向反折
  

• 尺度变换 对信号在 X 轴方向进行放缩

2.2. 周期信号

一个周期连续信号 $x(t)$x(t) 具有这样的性质，即存在一个正值的 $T$T，满足：
$x(t) = x(t+T)$x(t)=x(t+T)
换句话说，当一个连续信号时移 $T$T 后其值不变，这时候 $x(t)$x(t) 就是一个周期信号。

如果一个离散信号时移 $N$N 后其值不变，这时候 $x[n]$x[n] 就是一个周期信号。
$x[n] = x[n+N]$x[n]=x[n+N]

2.3. 偶信号和奇信号

如果一个信号以原点为轴反转后不变，就称为偶信号。
$x(-t) = x(t)$x(−t)=x(t)
$x[-n] = x[n]$x[−n]=x[n]
如果有
$x(-t) = -x(t)$x(−t)=−x(t)
$x[-n] = -x[n]$x[−n]=−x[n]
就称该信号为奇信号。

任何信号都能分解为两个信号之和，其中之一为偶信号，另一个为奇信号。

3. 指数信号和正弦信号

3.1. 连续时间复指数信号和正弦信号

连续时间复指数信号具有以下的形式：
$x(t) = Ce^{at}$x(t)=Ceat
其中 $C$C 和 $a$a 一般为复数，根据这些参数值的不同，复指数信号可有几种不同的特征。

• 实指数信号
  此时 $C$C 和 $a$a 都为实数。若 $a$a 为正实数，则 $x(t)$x(t) 随 $t$t 的增加而指数增长;若 $a$a 为负实数，则 $x(t)$x(t) 随 $t$t 的增加而指数衰减。
  

• 周期复指数信号和正弦信号

若 $a$a 为纯虚数，特别是考虑如下信号：

$x(t) = e^{j \omega_0 t}$x(t)=ejω0​t

该信号的一个重要性质是它是周期信号。如果存在一个 $T$T 使下式成立，则 $x(t)$x(t) 就是周期的。

$e^{j \omega_0 t} = e^{j \omega_0 (t + T)} = e^{j \omega_0 t} * e^{j \omega_0 T}$ejω0​t=ejω0​(t+T)=ejω0​t∗ejω0​T

即 $e^{j \omega_0 t} = 1$ejω0​t=1。若 $\omega_0 = 0, x(t) = 1$ω0​=0,x(t)=1，这时对任何 $T$T 值都是周期的；若 $\omega_0 \not = 0 $，那么基波周期 $T_0$T0​ 为:
$T_0 = \frac{2 \pi }{|\omega_0|}$T0​=∣ω0​∣2π​

和周期复指数信号密切相关的一种信号是正弦信号，正弦信号也是周期信号。

$x(t) = Acos(\omega_0t + \phi)$x(t)=Acos(ω0​t+ϕ)

利用欧拉公式可以将复指数信号表示为与其有着相同基波周期的正弦信号，而正弦信号也能用相同基波周期的复指数信号来表示。

$e^{j \omega_0 t} = cos\omega_0t + j* sin\omega_0t$ejω0​t=cosω0​t+j∗sinω0​t

• 一般复指数信号

最一般情况下的复指数信号可以借助实指数信号和周期复指数信号来给予表示和说明。考虑某一复指数 $Ce^{at}$Ceat，将 $C$C 用极坐标表示，$a$a 用直角坐标表示，分别有：
$C = |C| e^{j\theta}$C=∣C∣ejθ
$a = r + j \omega_0$a=r+jω0​
$Ce^{at} = |C| e^{j\theta} *e^{(r + j \omega_0)t} = |C| e^{rt} *e^{ j (\omega_0t + \theta)} = |C| e^{rt} cos(\omega_0t + \theta) + j |C| e^{rt} sin(\omega_0t + \theta)$Ceat=∣C∣ejθ∗e(r+jω0​)t=∣C∣ert∗ej(ω0​t+θ)=∣C∣ertcos(ω0​t+θ)+j∣C∣ertsin(ω0​t+θ)

若 $r=0$r=0，则复指数信号的实部和虚部都是正弦型的；而对 $r&gt;0$r>0，其实部和虚部则是一个振幅为指数增长的正弦信号；$r&lt;0$r<0为振幅指数衰减的正弦信号。

3.2. 离散时间复指数信号和正弦信号

离散时间复指数信号具有以下的形式：
$x[n] = Ca^n$x[n]=Can
其中 $C$C 和 $a$a 一般为复指数。

• 实指数信号
  此时 $C$C 和 $a$a 都为实数，那么就会有如下的几种特性。
  若 $|a|&gt;1$∣a∣>1，信号随 $n$n 指数增长；$|a|&lt;1$∣a∣<1，则随 $n$n 指数衰减。
  若 $a$a 为正，信号全部值具有同一符号；而当 $a$a 为负时，信号值的符号交替变化。
  

• 正弦信号

$x[n] = e^{j \omega_0 n} = cos\omega_0n + j* sin\omega_0n$x[n]=ejω0​n=cosω0​n+j∗sinω0​n

• 一般复指数信号
  将 $C$C 和 $a$a 均以极坐标表示，分别有：
  $C = |C| e^{j\theta}$C=∣C∣ejθ
  $a = |a| e^{j\omega_0}$a=∣a∣ejω0​
  $Ca^{n} = |C| |a|^n cos(\omega_0n + \theta) + j |C| |a|^n sin(\omega_0n + \theta)$Can=∣C∣∣a∣ncos(ω0​n+θ)+j∣C∣∣a∣nsin(ω0​n+θ)

若 $|a|=1$∣a∣=1，复指数序列的实部和虚部都是正弦序列；而对 $|a|&gt;1$∣a∣>1，其实部和虚部为正弦序列乘以一个指数增长的序列；$|a|&lt;1$∣a∣<1乘以一个指数衰减的序列。

3.3. 离散时间复指数序列的周期性质

$e^{j(\omega_0+2 \pi) n} = e^{j\omega_0n} * e^{j2 \pi n} = e^{j\omega_0n}$ej(ω0​+2π)n=ejω0​n∗ej2πn=ejω0​n

这说明离散时间复指数信号在频率 $\omega_0+2 \pi$ω0​+2π 和 $\omega_0$ω0​ 时是完全一样的。

为了使信号 $e^{j \omega_0 n}$ejω0​n 是周期的，周期为 $N &gt; 0$N>0，就必须有：
$e^{j\omega_0(n+N)} = e^{j\omega_0n} * e^{j\omega_0N} = e^{j\omega_0n}$ejω0​(n+N)=ejω0​n∗ejω0​N=ejω0​n
这就等效于要求 $e^{j\omega_0N} = 1$ejω0​N=1，那么 $\omega_0N$ω0​N 必须为 $2\pi$2π 的整数倍，也就是说存在一个整数 $m$m，使得
$\omega_0N = 2\pi m$ω0​N=2πm

4. 单位冲激和单位阶跃函数

4.1. 离散时间单位脉冲和单位阶跃序列

最简单的离散时间信号之一就是单位脉冲或者单位样本，定义为：
$\delta[n] = \begin{cases} 0，&amp;\text n\not =0 \\ 1， &amp;\text n = 0 \end{cases}$δ[n]={0，1，​n̸​=0n=0​

第二个简单的离散时间信号是离散时间单位阶跃，定义为：
$u[n] = \begin{cases} 0，&amp;\text n&lt;0 \\ 1， &amp;\text n \geqslant 0 \end{cases}$u[n]={0，1，​n<0n⩾0​

离散时间单位脉冲是离散时间单位阶跃的一次差分，即
$\delta[n] = u[n] - u[n-1]$δ[n]=u[n]−u[n−1]

相反，离散时间单位阶跃是离散时间单位脉冲的求和函数，即
$u[n] = \sum_{m=- \infty }^n \delta[m]$u[n]=m=−∞∑n​δ[m]

单位脉冲序列可以用于一个信号在 $n=0$n=0 时的值的采样，因为 $\delta[n]$δ[n]仅在 $n=0$n=0 为非零值，所以有：
$x[n]\delta[n] = x[0]\delta[n]$x[n]δ[n]=x[0]δ[n]
若考虑在 $n=n_0$n=n0​ 的单位脉冲 $\delta[n-n_0]$δ[n−n0​] ，那么就有
$x[n]\delta[n-n_0] = x[n_0]\delta[n-n_0]$x[n]δ[n−n0​]=x[n0​]δ[n−n0​]

4.2. 连续时间单位阶跃和单位冲激函数

与离散时间情况相类似，连续时间单位阶跃函数*定义为：
$u(t) = \begin{cases} 0，&amp;\text t&lt;0 \\ 1， &amp;\text t &gt; 0 \end{cases}$u(t)={0，1，​t<0t>0​

值得注意的是，单位阶跃 在 $t=0$t=0 这一点是不连续的。

连续时间单位冲激函数与单位阶跃函数的关系也和离散时间单位脉冲与单位阶跃函数之间的关系想类似，即连续时间单位阶跃是单位冲激的积分函数：
$u(t) = \int_{- \infty }^t \delta(\tau) d\tau$u(t)=∫−∞t​δ(τ)dτ
连续时间单位冲激能够看作连续时间单位阶跃的一次微分：
$\delta(t) = \frac{du(t)}{dt}$δ(t)=dtdu(t)​
但因为单位阶跃在 $t=0$t=0 这一点是不连续的，因此上面的定义是不准确的。然而，我们可以考虑一个近似信号 $u_{\Delta}(t)$uΔ​(t)，$u_{\Delta}(t)$uΔ​(t) 从 0 升到 1 是在一个较短的时间间隔 $\Delta$Δ 内完成的，当 $\Delta$Δ 足够小的时候对实际问题也就无关紧要了。

正规地说，$u(t)$u(t) 是当 $\Delta \to 0$Δ→0 时 $u_{\Delta}(t)$uΔ​(t)的极限，现在我们再来看这个导数：
$\delta_{\Delta}(t) = \frac{du_{\Delta}(t)}{dt}$δΔ​(t)=dtduΔ​(t)​
$\delta_{\Delta}(t)$δΔ​(t) 是一个持续期为 $\Delta$Δ 的短脉冲，而且对于任何 $\Delta$Δ 值，其面积都为 1。

随着 $\Delta \to 0$Δ→0，$\delta_{\Delta}(t)$δΔ​(t) 变得越来越窄，愈来愈高，但始终保持单位面积，它的极限形式为：
$\delta(t) = \lim_{\Delta \to 0}\delta_{\Delta}(t)$δ(t)=Δ→0lim​δΔ​(t)

就能看作 $\Delta$Δ 变成无穷小后，短脉冲 $\delta_{\Delta}(t)$δΔ​(t) 的一种理想化的结果。

5. 系统的基本性质

• 记忆系统和无记忆系统
  如果对自变量的每一个值，一个系统的输出仅仅取决于该时刻的输入，这个系统就称为无记忆系统。

• 可逆性与可逆系统系统
  一个系统如果在不同的输入下，导致不同的输出，就成该系统是可逆的。

• 因果性
  如果一个系统在任何时刻的输出只决定于现在的输入以及过去的输入，该系统就称为因果系统。

• 稳定性
  一个稳定系统，如果其输入是有界的，即输入的幅度不是无界增长的，则系统的输出也必须是有界的，因此不可能发散。

• 时不变性
  从概念上将，若系统的特性行为不随时间而变，该系统就是时不变的。也就是，如果在输入信号上有一个时移，那么输出信号中就会产生一个同样的时移。

• 线性
  线性系统具有一个很重要的性质就是叠加性质，即：如果某一个输入是由几个信号的加权组成的话，那么输出也就是系统对这组信号中每一个的响应的加权和。假设 $y_1(t)$y1​(t) 是一个连续时间系统对 $x_1(t)$x1​(t) 的响应，而 $y_2(t)$y2​(t) 是一个连续时间系统对 $x_2(t)$x2​(t) 的响应，那么一个线性系统就应该有：

  $y_1(t) + y_2(t)$y1​(t)+y2​(t) 是对 $ x_1(t) + x_2(t)$ 的响应；
  $ay_1(t)$ay1​(t) 是对 $ ax_1(t)$ 的响应，此处 $a$a 为任意复常数。

  上面的第一个性质称为可加性，第二个特性则称之为比例性或者齐次性。
  线性系统的零输入响应为零，这也可以作为判断系统是否为线性系统的一个标准。

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