概率密度函数在某一点的值有什么意义？
（转自本人一年前的知乎回答）搞清楚这个问题需要想到这么几个问题:
课本上全概率的公式为∫g（x）dx，那么为什么它是概率密度g（x）乘dx的sum呢？dx又是什么？它在某一点的概率为什么是g（x）dx且趋近于0？
如何形象的理解而非从几何或者代数的角度思考？解答在下:
a. 先从离散的角度来考虑，假设甲在射箭，一共有x环，x在〔1，10〕间的正整数（靶子一共有从大到小10个区域的圆环，即10环），都射中了靶子，射中的环数与次数关系如下:
次数 f（x） 1 3 1
环数 x 10 6 2
我们可以知道：
- 射箭总次数为n次，那么设f（x）为射中x环的次数，
n＝∑f（x）＝f（10）＋f（6）＋f（2）＝5
2.射中x环的概率p（x）＝f（x）/n。
3.全概率为∑p（x）＝p（x1）＋p（x2）＋…＝∑f（x）/n＝1。这里的n是5次。
b.那么现在换了一种规则，就是甲射的靶子满分是10分，但被划分为k个圆环，且k接近于无穷，那么意味着可能取到无穷种分数，分数现在可以取得〔1，10〕中任意实数，可能是9.99999999…分。
因为分数取值无穷多， 那么为了我能得到连续的函数图像（即每个值都取到，没有间断点），研究连续随机变量，我需要甲一直在射箭，射n次，一直射不停几百年几万年那种…n趋近于∞。
与a进行类比，现在来分析一下:
1.总次数n＝f（x1）＋f（x2）＋f（x3）＋…＝∫f（x）＝∞
2.射中第x环的概率为 p（x）＝lim n→∞（f（x）/n ）
3.全概率公式变为limn→∞ ∫ p（x）＝∫ f（x）/n
我们知道课本上 连续随机变量的全概率公式 为
∫g（x）dx，与本题的∫f（x）/n（n趋近于∞）在表达式上并不相同，但是我所研究的就是连续型随机变量，所以他们的本质是一样的，只不过需要推导一下:
1.dx 是微分，即无穷小量，设k为无穷大的实数，n＝ak，其中的a是常数，dx＝1/k。那么本题的关系式就出来了，即
∫g（x）dx＝∫f（x）/ak＝∫（f（x）/a）dx
即g（x）＝f（x）/a
g（x）为函数密度，f（x）在本题指射中单个环数的次数。a是常数，那么这里函数密度可以理解为对各个环数射中次数f（x）按照常数a进行缩小放的数值。 下图为∫g（x）dx与反应各个分数的f（x）的图像，随着n的增加，射中的环数的期望越来越接近于某个值，这不就是大数定律了吗。
函数密度具体很难描述，但从这题的例子来讲可以形象的理解一下，而不是抽象的思考。