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Java数据结构----图--最短路径解法Dijkstra算法和Floyd算法

分类: 文章 • 2024-01-20 22:50:30

最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法

1、Dijkstra算法

1.1、定义概览
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

1.2、算法描述
1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：
a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

执行动画过程如下图

                                                Java数据结构----图--最短路径解法Dijkstra算法和Floyd算法

代码实现如下：

[java] view plain copy
  1. public class GraphByMatrix {  
  2.     public static final boolean UNDIRECTED_GRAPH = false;//无向图标志  
  3.     public static final boolean DIRECTED_GRAPH = true;//有向图标志  
  4.   
  5.     public static final boolean ADJACENCY_MATRIX = true;//邻接矩阵实现  
  6.     public static final boolean ADJACENCY_LIST = false;//邻接表实现  
  7.   
  8.     public static final int MAX_VALUE = Integer.MAX_VALUE;  
  9.     private boolean graphType;  
  10.     private boolean method;  
  11.     private int vertexSize;  
  12.     private int matrixMaxVertex;  
  13.   
  14.     //存储所有顶点信息的一维数组  
  15.     private Object[] vertexesArray;  
  16.     //存储图中顶点之间关联关系的二维数组,及边的关系  
  17.     private int[][] edgesMatrix;  
  18.   
  19.     // 记录第i个节点是否被访问过  
  20.     private boolean[] visited;  
  21.   
  22.     /** 
  23.      * @param graphType 图的类型：有向图/无向图 
  24.      * @param method    图的实现方式：邻接矩阵/邻接表 
  25.      */  
  26.     public GraphByMatrix(boolean graphType, boolean method, int size) {  
  27.         this.graphType = graphType;  
  28.         this.method = method;  
  29.         this.vertexSize = 0;  
  30.         this.matrixMaxVertex = size;  
  31.   
  32.         if (this.method) {  
  33.             visited = new boolean[matrixMaxVertex];  
  34.             vertexesArray = new Object[matrixMaxVertex];  
  35.             edgesMatrix = new int[matrixMaxVertex][matrixMaxVertex];  
  36.   
  37.             //对数组进行初始化，顶点间没有边关联的值为Integer类型的最大值  
  38.             for (int row = 0; row < edgesMatrix.length; row++) {  
  39.                 for (int column = 0; column < edgesMatrix.length; column++) {  
  40.                     edgesMatrix[row][column] = MAX_VALUE;  
  41.                 }  
  42.             }  
  43.   
  44.         }  
  45.     }  
  46.   
  47.     /********************最短路径****************************/  
  48.     //计算一个顶点到其它一个顶点的最短距离  
  49.     public void Dijkstra(Object obj) throws Exception {  
  50.         Dijkstra(getVertexIndex(obj));  
  51.     }  
  52.     public void Dijkstra(int v0) {  
  53.         int[] dist = new int[matrixMaxVertex];  
  54.         int[] prev = new int[matrixMaxVertex];  
  55.   
  56.         //初始化visited、dist和path  
  57.         for (int i = 0; i < vertexSize; i++) {  
  58.             //一开始假定取直达路径最短  
  59.             dist[i] = edgesMatrix[v0][i];  
  60.             visited[i] = false;  
  61.   
  62.             //直达情况下的最后经由点就是出发点  
  63.             if (i != v0 && dist[i] < MAX_VALUE)  
  64.                 prev[i] = v0;  
  65.             else  
  66.                 prev[i] = -1; //无直达路径  
  67.         }  
  68.   
  69.         //初始时源点v0∈visited集，表示v0 到v0的最短路径已经找到  
  70.         visited[v0] = true;  
  71.   
  72.         // 下来假设经由一个点中转到达其余各点,会近些,验证之  
  73.         // 再假设经由两个点中转,会更近些,验证之,.....  
  74.         // 直到穷举完所有可能的中转点  
  75.         int minDist;  
  76.         int v = 0;  
  77.         for (int i = 1; i < vertexSize; i++) {  
  78.             //挑一个距离最近经由点,下标装入 v  
  79.             minDist = MAX_VALUE;  
  80.   
  81.             for (int j = 0; j < vertexSize; j++) {  
  82.                 if ((!visited[j]) && dist[j] < minDist) {  
  83.                     v = j;                             // 经由顶点j中转则距离更短  
  84.                     minDist = dist[j];  
  85.                 }  
  86.             }  
  87.             visited[v] = true;  
  88.   
  89.             /*顶点v并入S，由v0到达v顶点的最短路径为min. 
  90.               假定由v0到v，再由v直达其余各点，更新当前最后一个经由点及距离*/  
  91.             for (int j = 0; j < vertexSize; j++) {  
  92.                 if ((!visited[j]) && edgesMatrix[v][j] < MAX_VALUE) {  
  93.   
  94.                     if (minDist + edgesMatrix[v][j] <= dist[j]) {  
  95.                         //如果多经由一个v点到达j点的 最短路径反而要短,就更新  
  96.                         dist[j] = minDist + edgesMatrix[v][j];  
  97.   
  98.                         prev[j] = v;                    //经由点的序号  
  99.                     }  
  100.   
  101.                 }  
  102.             }  
  103.   
  104.         }  
  105.   
  106.         for (int i = 1; i < matrixMaxVertex; i++) {  
  107.             System.out.println("**" + vertexesArray[v0] + "-->" +vertexesArray[i] + " 的最短路径是：" + dist[i]);  
  108.         }  
  109.     }  
  110.   
  111.     //获取顶点值在数组里对应的索引  
  112.     private int getVertexIndex(Object obj) throws Exception {  
  113.         int index = -1;  
  114.         for (int i = 0; i < vertexSize; i++) {  
  115.             if (vertexesArray[i].equals(obj)) {  
  116.                 index = i;  
  117.                 break;  
  118.             }  
  119.         }  
  120.         if (index == -1) {  
  121.             throw new Exception("没有这个值！");  
  122.         }  
  123.   
  124.         return index;  
  125.     }  
  126.   
  127.     /** 
  128.      * 单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他!!所有节点!!的最短路径 
  129.      */  
  130.     public void Dijkstra2(int v0) {  
  131.         // LinkedList实现了Queue接口 FIFO  
  132.         Queue<Integer> queue = new LinkedList<Integer>();  
  133.         for (int i = 0; i < vertexSize; i++) {  
  134.             visited[i] = false;  
  135.         }  
  136.   
  137.         //这个循环是为了确保每个顶点都被遍历到  
  138.         for (int i = 0; i < vertexSize; i++) {  
  139.             if (!visited[i]) {  
  140.                 queue.add(i);  
  141.                 visited[i] = true;  
  142.   
  143.                 while (!queue.isEmpty()) {  
  144.                     int row = queue.remove();  
  145.                     System.out.print(vertexesArray[row] + "-->");  
  146.   
  147.                     for (int k = getMin(row); k >= 0; k = getMin(row)) {  
  148.                         if (!visited[k]) {  
  149.                             queue.add(k);  
  150.                             visited[k] = true;  
  151.                         }  
  152.                     }  
  153.   
  154.                 }  
  155.             }  
  156.         }  
  157.     }  
  158.   
  159.     private int getMin( int row) {  
  160.         int minDist = MAX_VALUE;  
  161.         int index = 0;  
  162.         for (int j = 0; j < vertexSize; j++) {  
  163.             if ((!visited[j]) && edgesMatrix[row][j] < minDist) {  
  164.                 minDist = edgesMatrix[row][j];  
  165.                 index = j;  
  166.             }  
  167.         }  
  168.         if (index == 0) {  
  169.             return -1;  
  170.         }  
  171.         return index;  
  172.     }  
  173.   
  174.     public boolean addVertex(Object val) {  
  175.         assert (val != null);  
  176.         vertexesArray[vertexSize] = val;  
  177.         vertexSize++;  
  178.         return true;  
  179.     }  
  180.   
  181.     public boolean addEdge(int vnum1, int vnum2, int weight) {  
  182.         assert (vnum1 >= 0 && vnum2 >= 0 && vnum1 != vnum2 && weight >= 0);  
  183.   
  184.         //有向图  
  185.         if (graphType) {  
  186.             edgesMatrix[vnum1][vnum2] = weight;  
  187.   
  188.         } else {  
  189.             edgesMatrix[vnum1][vnum2] = weight;  
  190.             edgesMatrix[vnum2][vnum1] = weight;  
  191.         }  
  192.   
  193.         return true;  
  194.     }  
  195.   
  196. }  
测试：

[java] view plain copy
  1. @Test  
  2. public void testWeight() throws Exception {  
  3.     GraphByMatrix graph = new GraphByMatrix(Graph.UNDIRECTED_GRAPH, Graph.ADJACENCY_MATRIX, 6);  
  4.   
  5.     graph.addVertex("1");  
  6.     graph.addVertex("2");  
  7.     graph.addVertex("3");  
  8.     graph.addVertex("4");  
  9.     graph.addVertex("5");  
  10.     graph.addVertex("6");  
  11.   
  12.     graph.addEdge(0, 1,7);  
  13.     graph.addEdge(0, 2,9);  
  14.     graph.addEdge(0, 5,14);  
  15.   
  16.     graph.addEdge(1, 3,15);  
  17.     graph.addEdge(1, 2,10);  
  18.   
  19.     graph.addEdge(2, 3,11);  
  20.     graph.addEdge(2, 5,2);  
  21.   
  22.     graph.addEdge(3, 4,6);  
  23.     graph.addEdge(4, 5,9);  
  24.   
  25.     graph.Dijkstra(0);  
  26.     System.out.println();  
  27.     graph.Dijkstra("1");  
  28.     System.out.println();  
  29.     graph.Dijkstra2(0);  
  30.     System.out.println();  
  31. }  
**1-->2 的最短路径是：7
**1-->3 的最短路径是：9
**1-->4 的最短路径是：20
**1-->5 的最短路径是：20
**1-->6 的最短路径是：11

**1-->2 的最短路径是：7
**1-->3 的最短路径是：9
**1-->4 的最短路径是：20
**1-->5 的最短路径是：20

**1-->6 的最短路径是：11


1-->2-->3-->6-->4-->5-->

2、Floyd算法：读弗洛伊德

1.定义概览
Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）又称为插点法是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。

2.算法描述：

1)算法思想原理：
     Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

    从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

2).算法描述：
a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。 　　
b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

3).Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法
方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角 如下所示

给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点

      Java数据结构----图--最短路径解法Dijkstra算法和Floyd算法

相应计算方法如下：

Java数据结构----图--最短路径解法Dijkstra算法和Floyd算法

Java数据结构----图--最短路径解法Dijkstra算法和Floyd算法

Java数据结构----图--最短路径解法Dijkstra算法和Floyd算法

最后A3即为所求结果

代码如下：

[java] view plain copy
  1. public void shortestPath_FLOYD() {  
  2.      int n = vertexSize;  
  3.      int[][] D = new int[n][n];//保存从i到j的最小路径值  
  4.      int[][] p = new int[n][n];//保存经过的中间节点  
  5.      for (int i = 0; i < n; i++) {//初始化D，p  
  6.          for (int j = 0; j < n; j++) {  
  7.              if (edgesMatrix[i][j] < Integer.MAX_VALUE) {  
  8.   
  9.                  p[i][j] = j;  
  10.              } else {  
  11.                  p[i][j] = -1;  
  12.              }  
  13.              D[i][j] = edgesMatrix[i][j];  
  14.          }  
  15.      }  
  16.   
  17.      for (int x = 0; x < n; x++) {//进行Floyd算法，从0到n-1所有可能进行遍历  
  18.          for (int i = 0; i < n; i++) {  
  19.              for (int j = 0; j < n; j++) {  
  20.                  if (D[i][j] > D[i][x] + D[x][j]) {  
  21.                      D[i][j] = D[i][x] + D[x][j];  
  22.                      p[i][j] = p[i][x];  
  23.                  }  
  24.              }  
  25.          }  
  26.      }  
  27.      // 下面对获得的结果进行展示  
  28.      for (int i = 0; i < n; i++) {  
  29.          for (int j = 0; j < n; j++) {  
  30.              System.out.print(" " + D[i][j]);  
  31.          }  
  32.          System.out.println();  
  33.      }  
  34.      System.out.println("++++++++++++++++++++++++++++++++++++");  
  35.      for (int i = 0; i < n; i++) {  
  36.          for (int j = 0; j < n; j++) {  
  37.              System.out.print(" " + p[i][j]);  
  38.          }  
  39.          System.out.println();  
  40.      }  
  41.      System.out.println("+++++++++++++++++++++++++++++++++++");  
  42.      for (int i = 0; i < n; i++) {  
  43.          for (int j = 0; j < n; j++) {  
  44.              System.out.println("输出i=" + i + "到j=" + j + "最短路径：");  
  45.              int k = p[i][j];  
  46.              if (k == -1) {  
  47.                  System.out.println("没有最短路径");  
  48.              } else {  
  49.                  System.out.print(" " + k);  
  50.                  while (k != j) {  
  51.                      k = p[k][j];  
  52.                      System.out.print(" " + k);  
  53.                  }  
  54.                  System.out.println(" "+k);  
  55.                  System.out.println();  
  56.              }  
  57.          }  
  58.      }  
  59.  }  

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