在开关电源领域，建立变换器模型，分析变换器模型特点，选择合适的补偿网络，进行环路分析，从而理论上设计出一个稳定的电源，验证其动态、稳态指标满足需求，这样一套完整步骤很重要。《电力电子系统建模及控制》一书对建立变换器模型这一步进行了详细分析，有时间的读者建议阅读原书学习。

一、开关电源建模基本概念

阅读本文之前，读者要具备一些基本知识

1. DC/DC变换器系统的构成。
2. 什么是一个电路拓扑的状态量，状态量方程如何推导。

二、CCM下变换器建模

读完本节，读者要能回答以下问题：

1. 什么是状态平均？为什么要用状态平均方法？状态平均方法的特点与缺陷？
2. 为什么需要对状态方程线性化与添加扰动分离小信号？
3. 简述基于状态平均法建立反激电源小信号模型的步骤。
4. 简述基于平均开关法建立反激电源小信号模型的步骤。

1.状态平均的概念

DC/DC变换器包含非线性元件，是一个非线性系统，不容易分析。但当变换器运行在某一稳态工作点附近，电路状态量的小信号扰动量之间呈现线性关系。因此，尽管DC变换器为非线性系统，但在研究它在某一稳态工作点附近的动态特性时，仍把它当做线性系统来近似，这就要用到状态空间平均的概念。

具体而言，当系统工作在某一稳态工作点，控制信号出现一个低频扰动时，变换器输出电压也被低频调制。输出电压中低频交流分量与控制信号低频扰动幅值成正比，频率相同，这就是线性电路的特征。

那么，当控制信号出现一个低频扰动时，输出电压里面只有低频量么？

实际上，由于要经过高频PWM调制，输出电压中除直流和低频交流分量外，还有开关频率（及其边带）和开关频率谐波（及其边带）成分。当开关频率较高、谐波幅值较低时，开关频率量的能量才可以忽略，这时候小信号的扰动量间的关系才近似为线性关系了。

在数学表达式上如何实现忽略开关频率量呢？答案如下：对某个量进行开关周期平均运算，将保留信号中低频部分，而滤除开关频率成分，定义这种运算为开关周期平均算子

状态量电感电流、电容电压经开关周期平均算子后仍然满足电磁感应定律。

利用开关周期平均算子表示的电路方程就是状态空间平均方程。

2.推导变换器的状态空间平均方程

以反激变换器为例推导其状态空间平均方程（大信号方程），反激电源电路结构如下。

详细推导步骤如下：

1. 第一步，基于开关周期平均算子定义式开展计算：
   
2. 第二步，基于开关周期平均算子的定义式，忽略掉电感电流、电容电压一个周期中的纹波，对方程变形推导
   
3. 第三步，整理上式
   
4. 至此，我们得到了反激电源的状态空间平均方程。可以发现，方程中存在变量 d(t)、d’(t) 与状态变量IL 、UG、U 的乘积项，属于非线性方程，无法采用经典控制理论，使用起来不方便，因此需要对方程进行线性化处理。

3.对变换器的状态空间平均方程进行线性化处理

若反激电源工作在某一静态工作点，占空比 、输入电压、电感电流、电容电压、输入电流的稳态值分别为D、Ug、IL、Uo、Ig。带入到状态空间平均方程，求解出稳定工作点各物理量之间的关系：

然后用扰动法求解小信号动态模型。如果对输入电压和占空比在直流工作点附近叠加微小扰动，即

于是将引起反激变换器电路中各状态变量和输出量的微小扰动，也即

将上式带入到状态空间平均方程（以及输入电流方程），消去直流稳态项，忽略二阶交流项（两个扰动量相乘认为是无穷小项），得到反激电源线性化小信号交流模型。

4.平均开关模型

基于数学方法的状态空间平均方法计算复杂，而且不直观。如果通过电路变换，求得小信号交流模型，将更为直观，使用起来更方便，这就是平均开关模型的出发点。

平均开关模型的理论依据是这样的：任一DC/DC变换器可分割成两个子电路，一个子电路为线性定常电路（电感、电容、电阻组成的电路），另一个为开关网络。前者在电路变换中无需进行处理、后者如何变换成线性定常电路是关键。

以反激电源为例进行分析，首先将其按照线性定常电路与开关网络进行分割。

第二步：使用受控源等效开关网络子电路。

第三步：应用扰动法，分离直流项与二阶交流项，得到线性化处理后的电路。

第四步：将副边绕组折合到原边绕组。

三、DCM下变换器建模

读完本节，读者要能回答以下问题：

1. DCM下变换器建模与CCM有什么不同？
2. 简述DCM下反激电源的建模过程

1.DCM下变换器的状态空间平均方程

下面以反激变换器为例加以介绍。将反激电源如图绘制，图中虚线框部分构成一个二端口网络。DCM状态有三个模态d1、d2、d3。前两模态与CCM一致，d3期间电感电流发生断续。

详细建模过程如下：

1. 步骤1 推导二端口开关网络的输入电压平均值
   
   在DCM方式下，即使在暂态过程中，电感电压在一个开关周期中的平均值也为零，由此可得：
   
   输入端口电压u1(t)一个开关周期中的平均值为：
   
   消去d2和d3推导出二端口开关网络的输入电压平均值等于电源电压平均值。
   
2. 步骤2 推导二端口开关网络的输入电流平均值
   
   定义
   
   与之对比，我们回顾下CCM方式下输入端口方程
   
3. 步骤3 推导二端口开关网络的输出电压平均值
   
4. 步骤4 推导二端口开关网络的输出电流平均值
   
   可见输出端口的输出功率等于输入端口的输入功率，即二端口开关网络没有功率损耗。
5. 步骤5 绘制DCM反激变换器开关周期平均模型
   
   上图为反激电源开关周期平均模型，列写出二端口开关网络的状态空间平均方程如下，可以发现，方程中存在d(t)与v(t)的乘积项，属于非线性方程，无法采用经典控制理论，使用起来不方便，因此需要对方程线性化。
   

2.对状态空间平均方程进行线性化处理

若反激电源工作在某一静态工作点，由二端口网络功率平衡得到：

然后用扰动法求解小信号动态模型。在直流工作点附近叠加微小扰动，即

忽略泰勒级数展开的高阶项，然后消去直流项，得到输入端口方程：

类似地对于输出端口方程作同样处理，推导出输出端口方程为：

绘制出端口网络模型：

在实际应用中，通常忽略小信号模型中的电感，这样可以使得其模型大为简化。令 Rp=r2//R，推导出控制至输出的传递函数以及输入至输出传递函数。


上面推导过程中，匝比概念被隐去了。在匝比为1下推导没问题，匝比不为1时要对哪些概念进行修正呢？

一种解决方法：将原边电路全部折合到副边

四、基于电流峰值控制的CCM变换器建模

读完本节，读者要能回答以下问题：

1. 什么是峰值电流控制？控制框图的构成？简述控制机理？
2. 峰值电流控制的稳定性问题？
3. 什么是CPM一阶模型？一阶模型框图的构成？一阶模型的适用条件？

1.电流峰值控制的概念

电流峰值控制（CPM）中，用通过功率管的电流波形替代普通PWM调制电路中的载波信号，以获得PWM调制信号。

下图给出反激电源采用电流峰值控制的原理图，每个开关周期之初，由时钟脉冲置位RS锁存器，导通开关；当电感电流增大至调制信号，比较器复位RS锁存器，关断开关。

2.峰值电流控制的稳定性问题

• 电流控制的稳定性问题
  
• 添加锯齿波补偿环节以稳定电流控制
  

3.一阶模型

内环采用电流峰值控制，外环采用电压补偿网络的系统框图如上图。为设计电压环，需先建立内环动态模型。当变化器工作于CCM状态，忽略电感电流纹波，假定电感电流完全跟踪指令电流，即内环（闭环）传递函数为iL=ic 。将iL=ic 带入原模型并消去占空比 ，得到

为了求控制至输出传递函数，令ug=0 ，于是可求得：

五、基于电流峰值控制的DCM变换器建模

读完本节，读者要能回答以下问题：
1.简述DCM下峰值电流控制的反激电源的建模过程。

1.建立状态平均模型

一阶模型可以较快建立模型，但一阶模型忽略电感纹波和补偿锯齿波，因此仅适用于电感电流纹波较小，同时补偿锯齿波电流斜率较小的场合。实际上，当电感电流脉动较大，电感电流平均值与电流指令之间差异较大，一阶模型不再适用。一个极端的例子就是当工作在临界电流导电方式时，电感电流平均值只有电流指令的一半，显然与一阶模型差别很大。

下面以DCM反激变换器为例，分析其电流峰值控制时的动态模型，详细步骤如下。

1. 步骤1 推导二端口开关网络的输入端口方程
   二端口开关网络的输入电流开关周期平均值为：
   
   电流峰值控制下，电流指令与占空比满足以下关系：
   
   结合两式，化简得到：
   

2. 步骤2 推导二端口开关网络的输出端口方程
   二端口开关网络的输入电流开关周期平均值为：
   
   电流峰值控制下，电流指令与占空比满足以下关系：
   
   结合两式，化简得到：
   

3. 步骤3 整理上式
   
   上述状态空间的开关周期平均值方程简称为状态空间平均方程。可以发现，方程中存在变量变量 、 的乘积项，属于非线性方程，无法采用经典控制理论，使用起来不方便，因此需要对方程线性化。

2.对状态平均模型进行线性化处理

若反激电源工作在某一静态工作点，电流指令 ic=Ic，带入到状态空间平均方程，求解出稳定量的关系式：


首先引入扰动，带入反激电源开关周期平均模型后，然后在静态工作点附近作泰勒级数展开，例如对于输出端口，可以得到：

忽略泰勒级数展开的高阶项，然后消去直流项，得到输出端口的交流小信号线性方程：

又有负载侧的交流小信号线性方程：

对输出端口与负载侧方程联立求解，消去i2(s) ，最终得到：