第4章 入门篇（2）——算法初步(4)

4.4 贪 心

4.4.1 简单贪心
贪心法是求解一类最优化问题的方法，它总是考虑在当前状态下局部最优（或较优）的策略，来使全局的结果达到最优（或较优）。显然，如果采取较优而非最优的策略(最优策略可能不存在或是不易想到)，得到的全局结果也无法是最优的。而要获得最优结果，则要求中间的每步策略都是最优的，因此严谨使用贪心法来求解最优化问题需要对采取的策略进行证明。证明的一般思路是使用反证法及数学归纳法，即假设策略不能导致最优解，然后通过一系列系列推导来得到矛盾，以此证明策略是最优的，最后用数学归纳法保证全局最优。不过对平常使用来说，也许没有时间或不太容易对想到的策略进行严谨的证明(贪心的证明往往比贪心本身更难)，因此一般来说， 如果在想到某个似乎可行的策略，并且自己无法举出反例，那么就勇敢地实现它。

PAT B1020

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct mooncake{
	double store;
	double sell;
	double price;
}cake[1010];
bool cmp(mooncake a,mooncake b){
	return a.price>b.price;
} 
int main(){
	int n;
	double D;
	scanf("%d%lf",&n,&D);
	for(int i=0;i<n;i++){
		scanf("%lf",&cake[i].store);
	}
	for(int i=0;i<n;i++){
		scanf("%lf",&cake[i].sell);
		cake[i].price=cake[i].sell/cake[i].store;
	}
	sort(cake,cake+n,cmp);
	double ans=0;
	for(int i=0;i<n;i++){
		if(cake[i].store<=D){
			D-=cake[i].store;
			ans+=cake[i].sell;
		}else{
			ans+=cake[i].price*D;
			break;
		}
	}
	printf("%.2f\n",ans);
	return 0;
}

PAT B1023

#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn=100010;
int school[maxn]={0};
int main(){
	int n,schID,score;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++){
		scanf("%d%d",&schID,&score);
		school[schID]+=score;
	}
	int k=1,MAX=-1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(school[i]>MAX){
			MAX=school[i];
			k=i; 
		}
	}
	printf("%d %d\n",k,MAX);
	return 0; 
} 

4.4.2 区间贪心
区间不相交问题：给出N个开区间(x,y)，从中选择尽可能多的开区间，使得这些开区间两两没有交集。
如果开区间i1被开区间i2包含，那么显然选择i1是最好的选择。所以总是选择左端最大的区间。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=110;
struct Inteval{
	int x,y;
}I[maxn];
bool cmp(Inteval a,Inteval b){
	if(a.x!=b.x) return a.x>b.x;
	else return a.y<b.y;
}
int main(){
	int n;
	while(scanf("%d",&n),n!=0){
		for(int i=0;i<n;i++){
			scanf("%d%d",&I[i].x,&I[i].y);
		}
		sort(I,I+n,cmp);
		int ans=1,lastX=I[0].x;
		for(int i=1;i<n;i++){
			if(I[i].y<=lastX){
				lastX=I[i].x;
				ans++; 
			}
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

注：总是先选择右端最小区间的策略也是可以的。

区间选点问题：给出N个闭区间[x,y]，求最少需要确定多少个点，才能使没个闭区间中都至少存在一个点。例如对闭区间[1,4]、[2,6]、[5,7]来说，需要两个点才能保证每个闭区间都至少存在一个点。事实上，这个问题和区间不相交问题策略是一样的。

贪心是用来解决一类最优化问题，并希望由局部最优策略来推得全局最优结果的算法思想。贪心算法适用的问题一定满足最优子结构性质，即一个问题的最优解可以由它的子问题的最优解有效地构造出来。