论文提出了Circle loss，不仅能够对类内优化和类间优化进行单独地处理，还能根据不同的相似度值调整对应的梯度。总体而言，Circle loss更灵活，而且优化目标更明确，在多个实验上都有较好的表现，个人认为是一个很好的工作
 
来源：晓飞的算法工程笔记 公众号

论文: Circle Loss: A Unified Perspective of Pair Similarity Optimization

• 论文地址：https://arxiv.org/abs/2002.10857

Introduction

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  论文认为两类基础的深度特征学习方法classification learning(比如softmax)和pair-wise learning(比如triplet loss)均是为了最小化类内相似度$s_n$sn​和类间相似度$s_p$sp​，理想是$(s_n=0, s_p = 1)$(sn​=0,sp​=1)。而大部分常用的损失函数都是将$s_n$sn​和$s_p$sp​embed成相似度对，然后用各自研究的策略最小化$(s_n-s_p)$(sn​−sp​)的值。这种策略提升$s_p$sp​等同于下降$s_n$sn​，但其实这种对称的优化方法很容易存在以下问题：

• 缺乏优化的灵活性。由于基于损失函数同时优化$s_n$sn​和$s_p$sp​，导致$s_n$sn​和$s_p$sp​的梯度的幅值是一样的。当$s_n$sn​和$s_p$sp​均很小时，依然会使用较大的梯度惩罚$s_n$sn​，这是不高效且不合理的。
• 收敛目标不明确。优化$s_n-s_p$sn​−sp​通常会遇到决策边界问题$s_p-s_n=m$sp​−sn​=m。而这个边界目前是不够明确的，首先图1a中的ABC点均到决策边界的距离相等，但其收敛点却不太一样(梯度正交于$s_p=s_n$sp​=sn​?)。其次，不同收敛点间的类内和类间相似度差异可能较小，比如样本$\{s_n, s_p\}=\{0.2, 0.5\}${sn​,sp​}={0.2,0.5}和$\{{s^{'}}_n, {s^{'}}_p\}=\{0.4, 0.7\}${s′n​,s′p​}={0.4,0.7}，虽然边际(margin)均为0.3，但${s^{'}}_n$s′n​和$s_p$sp​的差距仅为0.1，这样的收敛状态会影响整体样本的区分性。

  基于上面的发现，论文认为不同的相似分数应该有不同的惩罚力度，首先将$(s_n - s_p)$(sn​−sp​)转换为$(\alpha_n s_n - \alpha_p s_p)$(αn​sn​−αp​sp​)，$\alpha_n$αn​和$\alpha_p$αp​是独立的权重因子，分别与$s_n$sn​和$s_p$sp​线性相关，这样不仅使得$s_n$sn​和$s_p$sp​能以不同的步伐进行学习，还可以更具相似分数调整幅值。这样的优化策略使得$\alpha_n s_n - \alpha_p s_p=m$αn​sn​−αp​sp​=m在$(s_n, s_p)$(sn​,sp​)空间内呈现圆形，故称为Circle loss。
  Circle loss主要从以下3个方面入手改变深度特征学习的内在特性：

• 统一损失函数来表示两类基础的深度特征学习方法classification learning(比如softmax)和pair-wise learning(比如triplet loss)。
• 灵活地优化，由于$\alpha_n$αn​和$\alpha_p$αp​会随着对应的相似度分数来改变对应的梯度，如图1b的点ABC的梯度是各不一样的。
• 明确的收敛目标，在圆形的决策边界，circle loss有更倾向的决策状态，如图2b的ABC点，均偏向于更新到点T，原因后面会讲到。

  论文的主要贡献如下：

• 提出Circle loss，通过有监督地加权不同相似度分数来进行深度特征学习，能够更灵活地优化，并且有明确的收敛目标。
• Circle loss能够兼容class-level标签和pair-wise标签，通过简单的修改就能变化为triplet loss或softmax loss。
• 在不同的任务(人脸识别，ReID，细粒度图片检索等)上进行实验证明Cirle loss的优势。

A Unified Perspective

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  给予特征空间的单样本$x$x，假设有$K$K个类内相似分数和$L$L个类间相似分数关联$x$x，定义相似度分数为$\{s^i_p\}(i=1,2,\cdots,K)${spi​}(i=1,2,⋯,K)和$\{s^i_n\}(i=1,2,\cdots,L)${sni​}(i=1,2,⋯,L)。

  为了最小化每个$s^j_n$snj​以及最大化每个$s^i_p$spi​，统一的损失函数如公式1，其中$\gamma$γ为缩放因子，$m$m为边际(margin)。公式1迭代每个相似度对来减小$(s^j_n-s^i_p)$(snj​−spi​)，通过简单的修改就能变为triplet loss和classification loss。

Given class-level labels

  在分类层计算样本$x$x与各类的相似度以及权重向量$w_i (i=1,2,\cdots,N)$wi​(i=1,2,⋯,N)，得到$(N-1)$(N−1)个类间相似度$s^j_n=w^T_j x/(||w_j||\ ||x||)$snj​=wjT​x/(∣∣wj​∣∣ ∣∣x∣∣)以及单个类内相似度$s_p = w^T_y x/(||w_y||\ ||x||)$sp​=wyT​x/(∣∣wy​∣∣ ∣∣x∣∣)。

  结合公式1，得到公式2的softmax变种AM-Softmax，当$m=0$m=0时，公式2能够进一步变化为Normface，当将cosine相似度替换为内积以及设置$\gamma=1$γ=1时，则为softmax loss。

Given pair-wise labels

  计算mini-batch中样本$x$x与其它样本的相似性，得到类间相似度$s^j_n=w^T_j x/(||x_j||\ ||x||)$snj​=wjT​x/(∣∣xj​∣∣ ∣∣x∣∣)以及单个类内相似度$s^i_p = w^T_y x/(||x_i||\ ||x||)$spi​=wyT​x/(∣∣xi​∣∣ ∣∣x∣∣)。

  结合公式1，$K=|\mathcal{P}|$K=∣P∣，$L=|\mathcal{N}|$L=∣N∣，得到带hard mining的triplet loss，$\sum exp(\cdot)$∑exp(⋅)用于调节mining的程度，当$\gamma \to + \infty$γ→+∞时，就是绝对的hard mining。

Gradient analysis

  公式2和公式3展示了公式1的通用性，目标均是优化$(s_n-s_p)$(sn​−sp​)。论文假设仅存在单个$s_p$sp​和$s_n$sn​，各种损失函数的梯度进行了可视化，如图2所示，观察到了主流损失函数的几点梯度表现：

• 在达到决策边界前，$s_p$sp​和$s_n$sn​的梯度是相同的，这缺乏优化的灵活性。
• 梯度在收敛前几乎是不变，而在收敛时则突然下降。比如图2的B点相对于A点是更优的，但是两点的梯度几乎一样，这也表明了优化的不灵活。
• 决策边界平行于$s_n - s_p=m$sn​−sp​=m(图2的白线)，不同的点$A$A $B$B会可能以边界上的不同点$T$T或$T^{'}$T′为目标，导致收敛目标不明确，如之前所述的。

A New Loss Function

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Self-paced Weighting

  为了让每个相似度分数能够根据当前优化状态调整学习的幅度，先忽略公式1的$m$m并调整为Circle loss，如公式4所示，$\alpha^j_n$αnj​和$\alpha^i_p$αpi​为非负权重因子。

  假定$s^i_p$spi​的最优值为$O_p$Op​，$s^j_n$snj​的最优值为$O_n(O_n < O_p)$On​(On​<Op​)，则$\alpha^j_n$αnj​和$\alpha^i_p$αpi​的计算如公式5，称为self-paced manner，$[\cdot]_+$[⋅]+​为cut-off at zero操作来保证$\alpha^j_n$αnj​和$\alpha^i_p$αpi​非负。
  加权是分类loss中的常见操作，所有的相似度分数共享同一个缩放因子$\gamma$γ，而Circle loss则根据每个相似度分类的值再进行一次独立的加权，允许不同的学习幅度，能够更加地灵活。

Within-class and Between-class Margin

  在之前的讨论中，主流损失函数的$(s_n-s_p)$(sn​−sp​)的优化是对称的(减少$s_n$sn​等同于增大$s_p$sp​)，仅需一个边际(margin)即可。而在Circle loss中，$(s_n-s_p)$(sn​−sp​)的优化是非对称的，因此需要设置独立的边际，如公式6，其中$\Delta_n$Δn​和$\Delta_p$Δp​为类间边际和类内边际，目标是$s^i_p>\Delta_p$spi​>Δp​以及$s^j_n<\Delta_n$snj​<Δn​，下面探讨边际的设置问题。

  考虑简单的二分类问题，决策边界为$\alpha_n(s_n - \Delta_n)-\alpha_p(s_p-\Delta_p)=0$αn​(sn​−Δn​)−αp​(sp​−Δp​)=0，结合公式5和6，决策边界可转换为公式7，其中$C=((O_n-\Delta_n)^2+(O_p-\Delta_p)^2)/4$C=((On​−Δn​)2+(Op​−Δp​)2)/4，即为Circle loss决策边界为圆的弧，如图1b所示，中心点为$(s_n=(O_n+\Delta_n)/2, s_p=(O_p+\Delta_p)/2)$(sn​=(On​+Δn​)/2,sp​=(Op​+Δp​)/2)，半径为$\sqrt{C}$C​。

  Circle loss包含5个参数$(O_p, O_n, \gamma, \Delta_p, \Delta_n)$(Op​,On​,γ,Δp​,Δn​)，论文通过设置$O_p=1+m$Op​=1+m，$O_n=-m$On​=−m，$\Delta_p=1-m$Δp​=1−m，$\Delta_n=m$Δn​=m来减少参数，最终将公式7转换为公式8。基于公式8的决策边界，可以看到其目标为$s_n \to 0$sn​→0和$s_p \to 1$sp​→1，参数$m$m控制决策边界的半径可以看作是松弛因子，即可将Circle loss目标改为$s^i_p>1-m$spi​>1−m和$s^i_n<m$sni​<m。

The Advantages of Circle Loss

  Circle loss关于$s^j_n$snj​和$s^i_p$spi​的梯度分别为公式9和公式10，在简单的二分类问题上，梯度的可视化如图2c所示，可以观察到几点梯度表现：

• Circle loss能够平衡地优化$s_n$sn​和$s_p$sp​，动态地调整惩罚各自的力度。
• 逐渐衰弱的梯度，如图2c所示，在训练初期，远离决策边际将获得较大的梯度，随着逐渐接近收敛，其梯度逐渐衰减，并且对$\gamma$γ具有鲁棒性。
• 更明确的收敛目标，如图1b所示，Circle loss更倾向于收敛至点$T$T，因为相对于其他点，点$T$T的$s_p$sp​和$s_n$sn​差距最小，加上梯度足够灵活，最容易学习到该状态。因为$s_p$sp​和$s_n$sn​差距越大，需要将数据划分地更开，更难学习。

Experiment

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Face Recognition

Person Re-identification

Fine-grained Image Retrieval

Impact of the Hyper-parameters

Investigation of the Characteristics

  通过观察图4发现：

• 在初始时，所有的$s_n$sn​和$s_p$sp​都较小，这是由于高维随机特征倾向于彼此分离。而在训练中，$s_p$sp​得到了显著的较大权重，占据了训练，使得相似度快速增加，这证明了Circle loss使用更灵活且平衡的优化手段。
• 在训练的最后，Circle loss在$s_p$sp​和$s_n$sn​的收敛上都比AMSoftmax要好。

  论文可视化了收敛后的相似度分布，可以看到，Circle loss以更紧密地方式通过了决策边界，而AMSoftmax则较为稀疏地通过了，这表明Circle loss的优化目标较为明确的，特征空间可分离性更好，这种情况在图5c中更为明显。

CONCLUSION

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  论文将classification learning和pair-wise learning进行了统一的表达，并根据目前的损失函数实际存在问题进行了改进，提出了Circle loss，不仅能够对类内优化和类间优化进行单独地处理，还能根据不同的相似度值调整对应的梯度。总体而言，Circle loss更灵活，而且优化目标更明确，在多个实验上都有较好的表现。

 
 
 

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