线性方程组（九）- 线性变换的矩阵

小结

1. 线性变换的矩阵
2. $\mathbb{R}^{2}$R2中的集合线性变换
3. 满射与单射

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线性变换的矩阵

$\boldsymbol{I_2}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$I2​=[10​01​]的两列是$\boldsymbol{e_1}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$e1​=[10​]和$\boldsymbol{e_2}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix}$e2​=[01​]，设$\boldsymbol{T}$T是$\mathbb{R}^{2}$R2到$\mathbb{R}^{3}$R3的线性变换，满足$\boldsymbol{T(e_1)}=\begin{bmatrix}5 \\ -7 \\ 2\end{bmatrix}，\boldsymbol{T(e_2)}=\begin{bmatrix}-3 \\ 8 \\ 0\end{bmatrix}$T(e1​)=⎣⎡​5−72​⎦⎤​，T(e2​)=⎣⎡​−380​⎦⎤​。求出$\mathbb{R}^{2}$R2中任意向量$\boldsymbol{x}$x的像的公式。
解：
$\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix}=x_1\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}=x_1\boldsymbol{e_1} + x_2\boldsymbol{e_2}$x=[x1​x2​​]=x1​[10​]+x2​[01​]=x1​e1​+x2​e2​
因为$\boldsymbol{T}$T是线性变换，所以：
$\quad\boldsymbol{T(x)} = \boldsymbol{T(}x_1\boldsymbol{e_1} + x_2\boldsymbol{e_2)} \\ = x_1\boldsymbol{T(e_1)} + x_2\boldsymbol{T(e_2)} \\ = x_1\begin{bmatrix}5 \\ -7 \\ 2\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}-3 \\ 8 \\ 0\end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} 5 & -3\\ -7 & 8 \\ 2 & 0\end{bmatrix}\boldsymbol{x}$T(x)=T(x1​e1​+x2​e2​)=x1​T(e1​)+x2​T(e2​)=x1​⎣⎡​5−72​⎦⎤​+x2​⎣⎡​−380​⎦⎤​=⎣⎡​5−72​−380​⎦⎤​x

定理 设$\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$T:Rn→Rm为线性变换，则存在唯一的矩阵$\boldsymbol{A}$A，使得对$\mathbb{R}^{n}$Rn中一切$\boldsymbol{x}$x，$\boldsymbol{T(x)}=\boldsymbol{Ax}$T(x)=Ax。事实上，$\boldsymbol{A}$A是$m \times n$m×n矩阵，它的第$j$j列是向量$\boldsymbol{T(e_j)}$T(ej​)，其中$\boldsymbol{e_j}$ej​是$\mathbb{R}^{n}$Rn中单位矩阵$\boldsymbol{I_n}$In​的第$j$j列：$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{T(e_1)} & \cdots & \boldsymbol{T(e_n)}\end{bmatrix}$A=[T(e1​)​⋯​T(en​)​]
证：
记$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{I_nx}=\begin{bmatrix}e_1 & \cdots & e_n\end{bmatrix}\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_1e_1 & \cdots & x_ne_n\end{bmatrix}$x=In​x=[e1​​⋯​en​​]x=[x1​e1​​⋯​xn​en​​]
由于$\boldsymbol{T}$T是线性变换，所以：
$\quad\boldsymbol{T(x)} = \boldsymbol{T(}x_1\boldsymbol{e_1} + \cdots + x_n\boldsymbol{e_n)} \\ = x_1\boldsymbol{T(e_1)} + \cdots + x_n\boldsymbol{T(e_n)} \\ = \begin{bmatrix}\boldsymbol{T(e_1)} & \cdots & \boldsymbol{T(e_2)}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\\vdots \\ x_n\end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix}\boldsymbol{T(e_1)} & \cdots & \boldsymbol{T(e_2)}\end{bmatrix}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Ax}$T(x)=T(x1​e1​+⋯+xn​en​)=x1​T(e1​)+⋯+xn​T(en​)=[T(e1​)​⋯​T(e2​)​]⎣⎢⎡​x1​⋮xn​​⎦⎥⎤​=[T(e1​)​⋯​T(e2​)​]x=Ax
其中矩阵$\boldsymbol{A}$A称为线性变换的标准矩阵。

由$\mathbb{R}^{n}$Rn到$\mathbb{R}^{m}$Rm的每个线性变换都可看作是矩阵变换，反之亦然。术语线性变换强调映射的性质，而矩阵变换描述这样的映射如何实现。

$\mathbb{R}^{2}$R2中的几何线性变换

设$\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$T:R2→R2为把$\mathbb{R}^{2}$R2中每一个点绕原点逆时针正角度$\varphi$φ的变换。我们可以从几何上证明这个变换是线性变换。求出这个变换的标准矩阵。

解：$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}$[10​]旋转成为$\begin{bmatrix}cos\varphi \\ sin\varphi\end{bmatrix}$[cosφsinφ​]，$\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}$[01​]旋转成为$\begin{bmatrix}-sin\varphi \\ cos\varphi\end{bmatrix}$[−sinφcosφ​]。
$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{T(e_1)} & \boldsymbol{T(e_1)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi\end{bmatrix}$A=[T(e1​)​T(e1​)​]=[cosφsinφ​−sinφcosφ​]

对称变换

变换	标准矩阵
关于$x_1$x1​轴的对称	$\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$[10​0−1​]
关于$x_2$x2​轴的对称	$\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$[−10​01​]
关于$x_2=x_1$x2​=x1​的对称	$\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$[01​10​]
关于$x_2=-x_1$x2​=−x1​的对称	$\begin{bmatrix}0 & -1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}$[0−1​−10​]
关于原点的对称	$\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$[−10​0−1​]

收缩与拉伸

变换	标准矩阵
水平收缩与拉伸	$\begin{bmatrix}k & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$[k0​01​]
垂直收缩与拉伸	$\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & k\end{bmatrix}$[10​0k​]

剪切变换

变换	标准矩阵
水平剪切	$\begin{bmatrix}1 & k \\ 0 & 1\end{bmatrix}$[10​k1​]
垂直剪切	$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{bmatrix}$[1k​01​]

投影

变换	标准矩阵
投影到$x_1$x1​轴上	$\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$[10​00​]
投影到$x_2$x2​轴上	$\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$[00​01​]

满射与单射

映射$\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$T:Rn→Rm称为到$\mathbb{R}^{m}$Rm上的映射，若$\mathbb{R}^{m}$Rm中每个$\boldsymbol{b}$b是$\mathbb{R}^{n}$Rn中至少一个$\boldsymbol{x}$x的像。（也称为满射）
等价地，当$\boldsymbol{T}$T的值域是整个余定义域$\mathbb{R}^{m}$Rm时，$\boldsymbol{T}$T是到$\mathbb{R}^{m}$Rm上的映射。也就是说，若对$\mathbb{R}^{m}$Rm中每个$\boldsymbol{b}$b，方程$\boldsymbol{T(x)}=\boldsymbol{b}$T(x)=b至少有一个解。

映射$\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$T:Rn→Rm称为到$\mathbb{R}^{m}$Rm上的一对一映射，若$\mathbb{R}^{m}$Rm中每个$\boldsymbol{b}$b是$\mathbb{R}^{n}$Rn中至多一个$\boldsymbol{x}$x的像。（也称为单射）
等价地，$\boldsymbol{T}$T是到$\mathbb{R}^{m}$Rm上的一对一映射，若对$\mathbb{R}^{m}$Rm中每个$\boldsymbol{b}$b，方程$\boldsymbol{T(x)}=\boldsymbol{b}$T(x)=b有唯一的解或没有解。
上面的表格中，投影不是一对一映射，也不能将$\mathbb{R}^{2}$R2映上到$\mathbb{R}^{2}$R2；其他（对称变换、收缩与拉伸、剪切变换）都是一对一映射，也能将$\mathbb{R}^{2}$R2映上到$\mathbb{R}^{2}$R2。

设$\boldsymbol{T}$T是线性变换，它的标准矩阵为$\begin{bmatrix} 1 & -4 & 8 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5\end{bmatrix}$⎣⎡​100​−420​8−10​135​⎦⎤​。$\boldsymbol{T}$T会否把$\mathbb{R}^{4}$R4映上到$\mathbb{R}^{3}$R3？$\boldsymbol{T}$T是否是一对一映射？
解：因为$\boldsymbol{A}$A已经是阶梯形矩阵，可立即看出，$\boldsymbol{A}$A在每一行有主元位置，对$\mathbb{R}^{3}$R3中每个$\boldsymbol{b}$b，方程$\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$Ax=b相容。也就是说，线性变换$\boldsymbol{T}$T能将$\mathbb{R}^{4}$R4映射到$\mathbb{R}^{3}$R3上。然而因为方程$\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$Ax=b有一个自由变量，每个$\boldsymbol{b}$b都有多个$\boldsymbol{x}$x的像。所以$\boldsymbol{T}$T不是一对一映射。

设$\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$T:Rn→Rm是线性变换，$\boldsymbol{A}$A为$\boldsymbol{T}$T的标准矩阵，则

1. $\boldsymbol{T}$T把$\mathbb{R}^{n}$Rn映上到$\mathbb{R}^{m}$Rm当且仅当$\boldsymbol{A}$A的列生成$\mathbb{R}^{m}$Rm。
2. $\boldsymbol{T}$T是一对一的，当且仅当$\boldsymbol{A}$A的列线性无关。