1)矢量（一阶张量）

概念：
1.既有大小又有方向性的物理量
2.其分量与坐标系选取有关，满足坐标转换关系
3.遵从相应的矢量运算规则

矢量 u u u在笛卡尔坐标系中分解为

其中 u 1 , u 2 , u 3 u_1,u_2,u_3 u1​,u2​,u3​是 u u u的三个分量， e 1 , e 2 , e 3 e_1,e_2,e_3 e1​,e2​,e3​是单位基矢量。

2)哑标的交换

由于 a i b i = b i a i a_ib_i = b_ia_i ai​bi​=bi​ai​，即矢量点积可以交换：

由于哑表 i i i仅表示要遍历求和，故可成对地任意交换。例如：

只要指标 j j j或 m m m在同项内仅出现两次，且取值范围和 i i i相同。

3)张量的三种记法

1.实体记法：

2.分解式记法：

3.分量式记忆:

由爱因斯坦求和约定可知：

即：

4)哑指标注意项

1.在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指标。

例如：
若 i i i为自由指标

2.自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立。

例如：在表达式
在自由指标 i i i取 1 , 2 , 3 1,2,3 1,2,3时该式始终成立，即有;

3.同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指标应防止重名

例如：

4.自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新名字：

把 i i i 换成 j j j

5.指标符号也适用于微分和导数表达式。

例如，三维空间中线元长度 d s d_s ds​和 d x i d_{x_i} dxi​​之间的关系

可简写为：

场函数 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) f(x_1,x_2,x_3) f(x1​,x2​,x3​)的全微分：

6.可用同项内出现两队（或几对）不同哑指标的方法来表示多重求和。

例如：

7.若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应加上求和号。

如：

8.等式两边不能随意消去

一般说不能由等式
两边消去 a i a_i ai​导出：

但若 a i a_i ai​可以任意取值等式始终成立，则可以通过取特殊值使得上式成立。

5)哑指标总结

通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标又把许多方程缩写成一个方程。
一般说，在一个用指标符号写出的方程中，若有 k k k个独立的自由指标，其取值范围是 1 1 1_{$n$，则这个方程代表了$n^k$个分量方程。在方程的某项中若同时出现$m$对取值范围$1$} n n n的哑指标，则此项含相互迭加的 n m n^m nm个项。

个人思考：

相较于指标符号（上），本章节主要是更加细化了指标符号在具体矢量或者方程中的运用规范和准则。总的来说，指标符号的出现是为了方便我们简化运算过程。