由于基态的参数复杂度随量子个数 N N N N N N ∣ φ ⟩ |\varphi\rangle ∣ φ ⟩ N N N N N N E g = min ⟨ g ∣ g ⟩ = 1 ⟨ g ∣ H ^ ∣ g ⟩ E_{g}=
\min_{\langle g \mid g\rangle=1}
\langle g|\widehat{H}| g\rangle E g = ⟨ g ∣ g ⟩ = 1 min ⟨ g ∣ H ∣ g ⟩
一般而言，我们定义矩阵乘积态(matrix product state , MPS) 为其基态系数满足 TT 形式的多量子组成的整体的量子态，即对于如下的量子态：∣ φ ⟩ = ∑ s 1 s 2 ⋯ s N φ s 1 s 2 ⋯ s N ∏ ⊗ n = 1 N ∣ s n ⟩ |\varphi\rangle=\sum_{s_{1} s_{2} \cdots s_{N}} \varphi_{s_{1} s_{2} \cdots s_{N}} \prod_{\otimes n=1}^{N}\left|s_{n}\right\rangle ∣ φ ⟩ = s 1 s 2 ⋯ s N ∑ φ s 1 s 2 ⋯ s N ⊗ n = 1 ∏ N ∣ s n ⟩
其中的系数组成的张量满足下式：φ s 1 s 2 ⋯ s N = ∑ a 1 a 1 … a N − 1 A s 1 a 1 ( 1 ) A s 2 a 1 a 2 ( 2 ) ⋯ A s N − 1 a N − 2 a N − 1 ( N − 1 ) A s N a N − 1 ( N ) = A s 1 : ( 1 ) A s 2 : : ( 2 ) … A s N − 1 : : ( N − 1 ) A s N : ( N ) T \varphi_{s_{1} s_{2} \cdots s_{N}}=\sum_{a_{1} a_{1} \ldots a_{N-1}} A_{s_{1} a_{1}}^{(1)} A_{s_{2} a_{1} a_{2}}^{(2)} \cdots A_{s_{N-1} a_{N-2} a_{N-1}}^{(N-1)} A_{s_{N} a_{N-1}}^{(N)}=A_{s_{1}:}^{(1)} A_{s_{2}::}^{(2)} \ldots A_{s_{N-1}::}^{(N-1)} A_{s_{N}:}^{(N) \mathrm{T}} φ s 1 s 2 ⋯ s N = a 1 a 1 … a N − 1 ∑ A s 1 a 1 ( 1 ) A s 2 a 1 a 2 ( 2 ) ⋯ A s N − 1 a N − 2 a N − 1 ( N − 1 ) A s N a N − 1 ( N ) = A s 1 : ( 1 ) A s 2 : : ( 2 ) … A s N − 1 : : ( N − 1 ) A s N : ( N ) T
可以看出，矩阵乘积态就是将系数构成的张量表示为若干小张量的缩并。
在 MPS 中，开放的指标 s n s_n s n 物理指标 ，被两个不同张量共有的指标 a n a_n a n 辅助指标 ，默认情况下我们要对辅助指标进行求和运算。
矩阵乘积态包含两种边界条件：
开放边界条件
周期边界条件
严格对角化中，量子态参数个数随 N N N # ( ∣ φ ⟩ ) ∼ O ( d N ) \#(|\varphi\rangle) \sim O\left(d^{N}\right) # ( ∣ φ ⟩ ) ∼ O ( d N )
但是在 MPS 中，给定辅助指标阶段维数为 χ \chi χ N N N # ( M P S ) ∼ O ( N d χ 2 ) \#(M P S) \sim O\left(N d \chi^{2}\right) # ( M P S ) ∼ O ( N d χ 2 )
MPS 将表征量子多体态的参数复杂度由指数级降低到了线性级。在 TT 分解中，我们需要先知道我们要分解的具体张量是什么，但是 MPS 的关键在于，我们并不需要知道指数复杂的量子态系数是什么，也不需要进行 TT 分解，而是直接假设基态具备给定截断维数的 MPS 态，直接处理MPS中的 “局域” 张量，从而绕过了 “指数墙” 问题，但是我们并不能确定这样的 MPS 态可以有效地描述基态，这样做就会导致误差的产生，因此我们引入一个量来判断 MPS 的有效性。
在奇异值分解的矩阵低秩近似中，我们用被裁剪的奇异值的范数来描述裁剪误差，即ε ∼ ∣ Λ R ′ : R − 1 ∣ \varepsilon \sim\left|\Lambda_{R^{\prime}: R-1}\right| ε ∼ ∣ Λ R ′ : R − 1 ∣
所以我们也可以从奇异值谱来入手刻画 MPS 的有效性，我们称为 量子纠缠 。
给定一个 N N N ∣ φ ⟩ = ∑ s 1 s 2 ⋯ s N φ s 1 s 2 ⋯ s N ∏ ⊗ n = 1 N ∣ s n ⟩ |\varphi\rangle=\sum_{s_{1} s_{2} \cdots s_{N}} \varphi_{s_{1} s_{2} \cdots s_{N}} \prod_{\otimes n=1}^{N}\left|s_{n}\right\rangle ∣ φ ⟩ = s 1 s 2 ⋯ s N ∑ φ s 1 s 2 ⋯ s N ⊗ n = 1 ∏ N ∣ s n ⟩
我们将其中的量子分成两个部分，即{ s n } = ( s 1 , ⋯ , s K ) ∪ ( s K + 1 , ⋯ , s N ) ( K ≥ 1 ) \left\{s_{n}\right\}=\left(s_{1}, \cdots, s_{K}\right) \cup\left(s_{K+1}, \cdots, s_{N}\right) \ \ \ (K \geq 1) { s n } = ( s 1 , ⋯ , s K ) ∪ ( s K + 1 , ⋯ , s N ) ( K ≥ 1 )
即将量子分为非空的两个部分，然后我们对矩阵化的系数张量进行奇异值分解φ s 1 s 2 ⋯ s N = ∑ α = 0 D − 1 U s 1 , ⋯ , s K , α Λ α V s K + 1 , ⋯ , s N , α ∗ \varphi_{s_{1} s_{2} \cdots s_{N}}=\sum_{\alpha=0}^{D-1} U_{s_{1}, \cdots, s_{K}, \alpha} \Lambda_{\alpha} V_{s_{K+1}, \cdots, s_{N}, \alpha}^{*} φ s 1 s 2 ⋯ s N = α = 0 ∑ D − 1 U s 1 , ⋯ , s K , α Λ α V s K + 1 , ⋯ , s N , α ∗
将对应于将量子态进行如下的分解：∣ φ ⟩ = ∑ α = 0 D − 1 Λ α ∣ U α ⟩ ∣ V α ⟩ |\varphi\rangle=\sum_{\alpha=0}^{D-1} \Lambda_{\alpha}\left|U^{\alpha}\right\rangle\left|V^{\alpha}\right\rangle ∣ φ ⟩ = α = 0 ∑ D − 1 Λ α ∣ U α ⟩ ∣ V α ⟩
其中 ∣ U α ⟩ \left|U^{\alpha}\right\rangle ∣ U α ⟩ ∣ V α ⟩ \left|V^{\alpha}\right\rangle ∣ V α ⟩ D D D ∣ U α ⟩ = ∑ s 1 , … , s K U s 1 , ⋯ , s K , α ∏ ⊗ n = 1 K ∣ s n ⟩ \left|U^{\alpha}\right\rangle=\sum_{s_{1}, \ldots, s_{K}} U_{s_{1}, \cdots, s_{K}, \alpha} \prod_{\otimes n=1}^{K}\left|s_{n}\right\rangle ∣ U α ⟩ = s 1 , … , s K ∑ U s 1 , ⋯ , s K , α ⊗ n = 1 ∏ K ∣ s n ⟩
∣ V α ⟩ = ∑ s 1 , ⋯ , s K V s K + 1 , ⋯ , s N , α ∗ ∏ ⊗ n = K + 1 N ∣ s n ⟩ \left|V^{\alpha}\right\rangle=\sum_{s_{1}, \cdots, s_{K}} V_{s_{K+1}, \cdots, s_{N}, \alpha}^{*} \prod_{\otimes n=K+1}^{N}\left|s_{n}\right\rangle ∣ V α ⟩ = s 1 , ⋯ , s K ∑ V s K + 1 , ⋯ , s N , α ∗ ⊗ n = K + 1 ∏ N ∣ s n ⟩
该分解就被称为量子态的 斯密特分解 ，其中 Λ \Lambda Λ 量子态的纠缠谱 。我们可以看出，量子态的斯密特分解就对应于其系数张量形成矩阵的奇异值分解。
由于 ∣ φ ⟩ |\varphi\rangle ∣ φ ⟩ ∣ Λ ∣ = 1 |\Lambda|=1 ∣ Λ ∣ = 1 ∑ α = 0 D − 1 Λ α 2 = 1 \sum_{\alpha=0}^{D-1} \Lambda_{\alpha}^{2}=1 α = 0 ∑ D − 1 Λ α 2 = 1
我们考虑因为量子态为∣ φ ⟩ = ∑ α = 0 D − 1 Λ α ∣ U α ⟩ ∣ V α ⟩ |\varphi\rangle=\sum_{\alpha=0}^{D-1} \Lambda_{\alpha}\left|U^{\alpha}\right\rangle\left|V^{\alpha}\right\rangle ∣ φ ⟩ = α = 0 ∑ D − 1 Λ α ∣ U α ⟩ ∣ V α ⟩
其中 ∣ U α ⟩ \left|U^{\alpha}\right\rangle ∣ U α ⟩ ∣ V α ⟩ \left|V^{\alpha}\right\rangle ∣ V α ⟩ D D D ∣ φ ⟩ |\varphi\rangle ∣ φ ⟩ P α = Λ α 2 P_{\alpha}=\Lambda_{\alpha}^{2} P α = Λ α 2
显然，概率满足归一化条件∑ α P α = 1 \sum_\alpha P_{\alpha}=1 α ∑ P α = 1
那么根据概率论香农熵的定义 E S = − P α ∑ α ln P α E^{\mathrm{S}}=-P_{\alpha} \sum_{\alpha} \ln P_{\alpha} E S = − P α α ∑ ln P α
我们可以定义量子态的纠缠熵为S = − ∑ α = 0 D − 1 Λ α 2 ln Λ α 2 S=-\sum_{\alpha=0}^{D-1} \Lambda_{\alpha}^{2} \ln \Lambda_{\alpha}^{2} S = − α = 0 ∑ D − 1 Λ α 2 ln Λ α 2
量子态的纠缠熵就是经典信息论中香农熵的量子版本，用来刻画信息量的大小。
在奇异值分解φ s 1 s 2 ⋯ s N = ∑ α = 0 D − 1 U s 1 , ⋯ , s K , α Λ α V s K + 1 , ⋯ , s N , α ∗ \varphi_{s_{1} s_{2} \cdots s_{N}}=\sum_{\alpha=0}^{D-1} U_{s_{1}, \cdots, s_{K}, \alpha} \Lambda_{\alpha} V_{s_{K+1}, \cdots, s_{N}, \alpha}^{*} φ s 1 s 2 ⋯ s N = α = 0 ∑ D − 1 U s 1 , ⋯ , s K , α Λ α V s K + 1 , ⋯ , s N , α ∗
中，U U U V V V U H U = ∑ s 1 , … , s K U s 1 , … , s K , α ∗ U s 1 , … , s K , α = I U^{H} U=\sum_{s_{1}, \ldots, s_{K}} U_{s_{1}, \ldots, s_{K}, \alpha}^{*} U_{s_{1}, \ldots, s_{K}, \alpha}=I U H U = s 1 , … , s K ∑ U s 1 , … , s K , α ∗ U s 1 , … , s K , α = I
V H V = ∑ s 1 , … , s K V s 1 , … , s K , α ∗ V s 1 , … , s K , α = I V^{H} V=\sum_{s_{1}, \ldots, s_{K}} V_{s_{1}, \ldots, s_{K}, \alpha}^{*} V_{s_{1}, \ldots, s_{K}, \alpha}=I V H V = s 1 , … , s K ∑ V s 1 , … , s K , α ∗ V s 1 , … , s K , α = I
我们根据上述性质来计算开放边界 MPS 的纠缠，设 MPS 态φ s 1 s 2 … s N = ∑ a 1 a 1 … a N − 1 A s 1 a 1 ( 1 ) … A s K a K − 1 a K ( K ) Λ a K ( K ) A s K + 1 a K ( K + 1 ) a K + 1 ⋯ A s N a N − 1 ( N ) \varphi_{s_{1} s_{2} \ldots s_{N}}=\sum_{a_{1} a_{1} \ldots a_{N-1}} A_{s_{1} a_{1}}^{(1)} \ldots A_{s_{K} a_{K-1} a_{K}}^{(K)} \Lambda_{a_{K}}^{(K)} A_{s_{K+1} a_{K}}^{(K+1)} a_{K+1} \cdots A_{s_{N} a_{N-1}}^{(N)} φ s 1 s 2 … s N = a 1 a 1 … a N − 1 ∑ A s 1 a 1 ( 1 ) … A s K a K − 1 a K ( K ) Λ a K ( K ) A s K + 1 a K ( K + 1 ) a K + 1 ⋯ A s N a N − 1 ( N )
满足如下条件时，Λ ( K ) \Lambda^{(K)} Λ ( K ) K K K K K K n − K n-K n − K Λ \Lambda Λ
其中前面 K K K U U U Λ ( K ) \Lambda^{(K)} Λ ( K ) V V V
上面我们了解了 MPS 的斯密特分解，计算方法就是在不改变所表示的量子态的前提下，将 MPS 变换成上述的 SVD 形式，改变 MPS 中的张量，但是不改变所表示的量子态的过程称为 规范变换 。
我们定义 MPS 的 规范自由度 为，对于同一个量子态，可由多组不同的张量组成的 MPS 态来表示其系数。
一般而言，MPS 规范变换如下图所示，我们可以在两个张量之间插入一对可逆矩阵的乘积，经过消解，我们可以保证整个状态不发生改变，但是将每对可逆矩阵分别收缩到两个张量中，就改变了张量，但是整体的状态不发生改变。A A A B B B φ s 1 s 2 ⋯ s N = A s 1 : : ( 1 ) ⋯ A s n : : ( n ) A s n + 1 : : ( n + 1 ) ⋯ A s N : ( N ) T = B s 1 : ( 1 ) ⋯ B s n : : ( n ) B s n + 1 : : ( n + 1 ) ⋯ B s N : ( N ) T \varphi_{s_{1} s_{2} \cdots s_{N}}=A_{s_{1}::}^{(1)} \cdots A_{s_{n}::}^{(n)} A_{s_{n+1}::}^{(n+1)} \cdots A_{s_{N}:}^{(N) \mathrm{T}}=B_{s_{1}:}^{(1)} \cdots B_{s_{n}::}^{(n)} B_{s_{n+1}::}^{(n+1)} \cdots B_{s_{N}:}^{(N) \mathrm{T}} φ s 1 s 2 ⋯ s N = A s 1 : : ( 1 ) ⋯ A s n : : ( n ) A s n + 1 : : ( n + 1 ) ⋯ A s N : ( N ) T = B s 1 : ( 1 ) ⋯ B s n : : ( n ) B s n + 1 : : ( n + 1 ) ⋯ B s N : ( N ) T
因为可逆矩阵有无数个，因此 MPS 的状态也有很多种表示，这时我们可以引入新的 约束条件 ，来固定 MPS 的规范自由度，使得给定量子态具备唯一的 MPS 表示，我们通过将不同的 MPS 转换为满足该约束条件的表示方式，可以比较两个不同的 MPS 表示是否是同一个量子态。常用的约束条件为构成 MPS 张量的正交条件。
我们定义 MPS 的 中心正交形式 为：当张量 { A ( n ) ( n < K ) } \{A^{(n)} (n<K)\} { A ( n ) ( n < K ) } { A ( n ) ( n > K ) } \{A^{(n)} (n>K)\} { A ( n ) ( n > K ) } K - 中心正交形式 。我们可以用图表示如下
通过图我们可以发现，该形式以第 K 个张量为界限，分解为三组张量的缩并。我们可以通过多次的 SVD 或 QR 分解进行规范变换，让 K - 中心正交形式变换成 K’ - 中心正交形式，也就是满足左右正交条件的界限变为 K‘ 。
我们也可以通过中心正交形式计算 MPS 纠缠谱。对于 MPS 的 SVD 形式可得，在以 ( s 1 , … , s K ) ∪ ( s K + 1 , … , s N ) \left(s_{1}, \ldots, s_{K}\right) \cup\left(s_{K+1}, \ldots, s_{N}\right) ( s 1 , … , s K ) ∪ ( s K + 1 , … , s N ) Λ ( K ) \Lambda^{(K)} Λ ( K ) A s K ( K ) a K − 1 a K A_{s_{K}}^{(K)} a_{K-1} a_{K} A s K ( K ) a K − 1 a K A s K ( K ) a K − 1 a K = ∑ β U s K a K − 1 β Λ β ( K ) V a K β A_{s_{K}}^{(K)} a_{K-1} a_{K}=\sum_{\beta} U_{s_{K} a_{K-1} \beta} \Lambda_{\beta}^{(K)} V_{a_{K}} \beta A s K ( K ) a K − 1 a K = ∑ β U s K a K − 1 β Λ β ( K ) V a K β
基于 K - 中心正交形式，我们可以对 MPS 辅助指标的维数进行最优裁剪，如果需要对第 K K K 裁剪 ，我们可以按如下步骤进行：
进行中心正交化，将正交中心放置于第 K 个张量。
对中心张量进行奇异值分解，如下 A s K ( K ) a K − 1 a K = ∑ β = 0 χ − 1 U s K a K − 1 β Λ β ( K ) V a K β A_{s_{K}}^{(K)} a_{K-1} a_{K}=\sum_{\beta=0}^{\chi -1} U_{s_{K} a_{K-1} \beta} \Lambda_{\beta}^{(K)} V_{a_{K}} \beta A s K ( K ) a K − 1 a K = β = 0 ∑ χ − 1 U s K a K − 1 β Λ β ( K ) V a K β
然后仅保留前 χ \chi χ χ \chi χ
将第 K K K A A A
将第 K + 1 K+1 K + 1 ∑ a K Λ β ( K ) V a K β A s K + 1 a K a K + 1 ( K + 1 ) → A s K + 1 β a K + 1 ( K + 1 ) \sum_{a_K}\Lambda_{\beta}^{(K)} V_{a_{K} \beta} A_{s_{K+1} a_{K} a_{K+1}}^{(K+1)} \rightarrow A_{s_{K+1} \beta a_{K+1}}^{(K+1)} a K ∑ Λ β ( K ) V a K β A s K + 1 a K a K + 1 ( K + 1 ) → A s K + 1 β a K + 1 ( K + 1 )
MPS 的另一个重要正交形式就是正则形式，其定义为系数满足如下的量子态φ s 1 s 2 ⋯ s N = A s 1 : ( 1 ) Λ ( 1 ) A s 2 : : ( 2 ) Λ ( 2 ) ⋯ Λ ( N − 2 ) A s N − 1 : : ( N − 1 ) Λ ( N − 1 ) A s N : ( N ) T \varphi_{s_{1} s_{2} \cdots s_{N}}=A_{s_{1}:}^{(1)} \Lambda^{(1)} A_{s_{2}::}^{(2)} \Lambda^{(2)} \cdots \Lambda^{(N-2)} A_{s_{N-1}::}^{(N-1)} \Lambda^{(N-1)} A_{s_{N}:}^{(N) \mathrm{T}} φ s 1 s 2 ⋯ s N = A s 1 : ( 1 ) Λ ( 1 ) A s 2 : : ( 2 ) Λ ( 2 ) ⋯ Λ ( N − 2 ) A s N − 1 : : ( N − 1 ) Λ ( N − 1 ) A s N : ( N ) T
我们可以用图表示为：
其意义为，当每个张量和左边的对角阵的缩并是单位阵，即和左边的对角阵满足右正交条件；每个张量和右边的对角阵的缩并是单位阵，即和右边的对角阵满足左正交条件。即满足下列式子：Λ ( n ) \Lambda^{(n)} Λ ( n )
