数字图像处理--引入齐次坐标

前面我们提到了图像的缩放变换和旋转变换，可以用矩阵乘法的形式来表达变换后的像素位置映射关系。

那么，对于平移变换呢？平移变换表示的是位置变化的概念。如下图所示，一个图像矩形从中心点[x1,y1]平移到了中心点[x2,y2]处，整体大小和角度都没有变化。在x方向和y方向上分别平移了tx和ty大小。

显然：
$x2 = x1 + tx\\ y2 = y1 + ty$x2=x1+txy2=y1+ty
这对于图像中的每一个点都是成立的。写成矩阵的形式就是：
$\begin{aligned} { \left[ \begin{array}{ccc} x2\\ y2\\ \end{array} \right ]}={ \left[ \begin{array}{ccc} x1\\ y1\\ \end{array} \right ]}+{ \left[ \begin{array}{ccc} tx\\ ty\\ \end{array} \right ]} \end{aligned}$[x2y2​]=[x1y1​]+[txty​]​
我们再把前面的缩放变换和旋转变换的矩阵形式写出来：
缩放变换：
$\begin{aligned} { \left[ \begin{array}{ccc} x2\\ y2\\ \end{array} \right ]}={ \left[ \begin{array}{ccc} k_x & 0\\ 0 & k_y\\ \end{array} \right ]}{ \left[ \begin{array}{ccc} x1\\ y1\\ \end{array} \right ]} \end{aligned}$[x2y2​]=[kx​0​0ky​​][x1y1​]​
旋转变换：
$\begin{aligned} { \left[ \begin{array}{ccc} x2\\ y2\\ \end{array} \right ]}={ \left[ \begin{array}{ccc} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta & cos\theta\\ \end{array} \right ]}{ \left[ \begin{array}{ccc} x1\\ y1\\ \end{array} \right ]} \end{aligned}$[x2y2​]=[cosθsinθ​−sinθcosθ​][x1y1​]​
我们注意到，缩放变换和旋转变换都可以表示成矩阵乘法的形式。实际上，图像的几何变换通常不是单一的，也就是说经常性的缩放、旋转、平移一起变换。例如先放大2倍，然后旋转45度，然后再缩小0.5倍。那么就可以表示成矩阵乘法串接的形式：
$\begin{aligned} { \left[ \begin{array}{ccc} x2\\ y2\\ \end{array} \right ]}={ \left[ \begin{array}{ccc} 0.5 & 0\\ 0 & 0.5\\ \end{array} \right ]}{ \left[ \begin{array}{ccc} cos45 & -sin45\\ sin45 & cos45\\ \end{array} \right ]}{ \left[ \begin{array}{ccc} 2 & 0\\ 0 & 2\\ \end{array} \right ]}{ \left[ \begin{array}{ccc} x1\\ y1\\ \end{array} \right ]} \end{aligned}$[x2y2​]=[0.50​00.5​][cos45sin45​−sin45cos45​][20​02​][x1y1​]​
这样，不管有多少次变换，都可以用矩阵乘法来实现。但是平移变换呢？从前面看到，平移变换并不是矩阵乘法的形式，而是矩阵加法的形式！
那能不能把缩放变换、旋转变换、平移变换统一成矩阵乘法的形式呢，这样不管进行多少次变换，都可以表示成矩阵连乘的形式，将极大的方便计算和降低运算量。

这种方法就是“升维”，引入“齐次坐标”，将图像从平面2D坐标变成3D坐标。我们看看平移变换的矩阵形式：
$\begin{aligned} { \left[ \begin{array}{ccc} x2\\ y2\\ \end{array} \right ]}={ \left[ \begin{array}{ccc} x1\\ y1\\ \end{array} \right ]}+{ \left[ \begin{array}{ccc} tx\\ ty\\ \end{array} \right ]} \end{aligned}$[x2y2​]=[x1y1​]+[txty​]​
将其升维，变成3维，上式就可以表示成：
$\begin{aligned} { \left[ \begin{array}{ccc} x2\\ y2\\ 1\\ \end{array} \right ]}={ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & tx\\ 0 & 1 & ty\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right ]}{ \left[ \begin{array}{ccc} x1\\ y1\\ 1\\ \end{array} \right ]} \end{aligned}$⎣⎡​x2y21​⎦⎤​=⎣⎡​100​010​txty1​⎦⎤​⎣⎡​x1y11​⎦⎤​​
这是个非常优美的地方，学习过矩阵乘法的同学可以算一下右边的式子，是否最终结果与前面是一样的。

这样，平移变换通过升维后的齐次坐标，也变成了矩阵乘法的形式。当然缩放变换和旋转变换的矩阵形式也得改一改，统一变成3维的形式。
缩放变换：
$\begin{aligned} { \left[ \begin{array}{ccc} x2\\ y2\\ 1\\ \end{array} \right ]}={ \left[ \begin{array}{ccc} k_x & 0 & 0\\ 0 & k_y & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right ]}{ \left[ \begin{array}{ccc} x1\\ y1\\ 1\\ \end{array} \right ]} \end{aligned}$⎣⎡​x2y21​⎦⎤​=⎣⎡​kx​00​0ky​0​001​⎦⎤​⎣⎡​x1y11​⎦⎤​​
旋转变换：
$\begin{aligned} { \left[ \begin{array}{ccc} x2\\ y2\\ 1\\ \end{array} \right ]}={ \left[ \begin{array}{ccc} cos\theta & -sin\theta & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right ]}{ \left[ \begin{array}{ccc} x1\\ y1\\ 1\\ \end{array} \right ]} \end{aligned}$⎣⎡​x2y21​⎦⎤​=⎣⎡​cosθsinθ0​−sinθcosθ0​001​⎦⎤​⎣⎡​x1y11​⎦⎤​​
终于统一了。以后所有的变换，不管怎样变换，变换多少次，都可以表示成一连串的矩阵相乘了，这是多么的方便。这就是引入齐次坐标的作用，把各种变换都统一了起来。

转载自：https://blog.****.net/saltriver/article/details/79680364