是时候整理一波3d变换相关的知识了。模型的变换可以认为是空间中一堆点的变换，三维空间中，（x,y,z）可以认为是点，也可以认为是一个向量，因此，人们引入的第4个维度来标识是点还是向量，这个4维空间就叫仿射空间，具体可以参考CV及CG数学基础：空间，在仿射空间中，(x,y,z,0)标识向量，而（x,y,z,1）表示点。

平移、旋转、缩放

平移

平移没什么好说的，（x,y,z,1）向x，y，z轴分别移动a,b,c单位长度后变成（x+a, y+b, z+c, 1）。写成矩阵相乘的方式即为：

$\left[ \begin{matrix} x+a \\ y+b \\ z+c \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & a\\ 0 & 1 & 0 & b \\ 0 & 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right]$⎣⎢⎢⎡​x+ay+bz+c1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​1000​0100​0010​abc1​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

旋转

对于旋转，任何一个旋转都可以认为是沿着x，y，z轴分别旋转 $\alpha$α, $\beta$β, $\gamma$γ 度数，所以选旋转就先讲沿着某个轴向的旋转。这里以逆着坐标轴正向方向看去的顺时针为旋转的正向，就是你的视线朝向和坐标轴正向是相反的，(⊙o⊙)…我还是画个图吧，下图就是沿着z轴旋转的正向了哈~

1. 沿x轴旋转

嗯！这里推一波公式，其实很简单，就是三角函数。
如上图左边，A点沿着x轴旋转一定角度变成A’，为了更容易看，右图是左图的左视图，记旋转的角度为$\theta$θ, 旋转后得到的A’与旋转中心连线与y轴正方向的夹角为$\alpha$α（图中的$\alpha$α是个负值），记A’与旋转中心连线的长度为L（A与旋转中心连线的长度也是L），那么，显而易见，有：

$\begin{aligned} x' =& x\\ y' =& L·cos(\alpha - \theta)\\ z' =& L·sin(\alpha - \theta) \end{aligned}$x′=y′=z′=​xL⋅cos(α−θ)L⋅sin(α−θ)​

$\begin{aligned} y =& -L·cos\alpha\\ z =& L·sin\alpha \end{aligned}$y=z=​−L⋅cosαL⋅sinα​
根据三角函数公式可以得到
$\begin{aligned} y' =& L·cos(\alpha - \theta) = L·(cos\alpha cos\theta + sin\alpha sin\theta) = -ycos\theta +zsin\theta\\ z' =& L·sin(\alpha - \theta) = L·(sin\alpha cos\theta - cos\alpha sin\theta) = zcos\theta +ysin\theta \end{aligned}$y′=z′=​L⋅cos(α−θ)=L⋅(cosαcosθ+sinαsinθ)=−ycosθ+zsinθL⋅sin(α−θ)=L⋅(sinαcosθ−cosαsinθ)=zcosθ+ysinθ​
综上，有：
$\begin{aligned} x' =& x\\ y' =& -ycos\theta +zsin\theta\\ z' =& zcos\theta +ysin\theta \end{aligned}$x′=y′=z′=​x−ycosθ+zsinθzcosθ+ysinθ​
现在就可以写成漂亮的矩阵形式了：
$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -cos\theta & sin\theta & 0 \\ 0 & sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right]$⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​1000​0−cosθsinθ0​0sinθcosθ0​0001​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

2. 沿y轴或者z轴旋转

推了x轴的，其他两个轴向其实原理都是一样的。
对于y轴，可以简单把y轴和x轴对调，也就是公式里的x，y对调，不过这样子的话，z轴的方向会反过来，所以再把z相关的加个符号就好了。
公式如下：
$\begin{aligned} y' =& y\\ x' =& -xcos\theta -zsin\theta\\ -z' =& -zcos\theta +xsin\theta \end{aligned}$y′=x′=−z′=​y−xcosθ−zsinθ−zcosθ+xsinθ​
写成漂亮的矩阵形式就是：
$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} -cos\theta &0 & -sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -sin\theta & 0 & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right]$⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​−cosθ0−sinθ0​0100​−sinθ0cosθ0​0001​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

对于z轴，x，z互换，y置反，直接上公式：
$\begin{aligned} z' =& z\\ -y' =& ycos\theta +xsin\theta\\ x' =& xcos\theta -ysin\theta \end{aligned}$z′=−y′=x′=​zycosθ+xsinθxcosθ−ysinθ​
矩阵形式：
$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta&0 & 0 \\ -sin\theta & -cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right]$⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​cosθ−sinθ00​−sinθ−cosθ00​0010​0001​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​

缩放

缩放感觉也没的说，直接上公示，下面公式表示沿着x，y，z轴分别缩放a，b，c倍：
$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1\\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} a & 0 & 0 & 0\\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1\\ \end{matrix} \right]$⎣⎢⎢⎡​x′y′z′1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​a000​0b00​00c0​0001​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​