5.1.4 基、维数和坐标

定义1
设$V$V是线性空间，如果$V$V中有$n$n个线性无关的向量，而任意$n+1$n+1个向量
都线性相关，则称线性空间$V$V是$n$n维的，记作$dimV=n$dimV=n,而这$n$n个线性无关的向量称为线性空间$V$V的一组基.
当一个线性空间$V$V中有无穷多个线性无关的向量时，称其为无限维线性空间.
定义2
设$V$V是$n$n维线性空间，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$α1​,α2​,⋯,αn​是其一组基，对$V$V中任一向量$\beta$β,存在着唯一一组数$x_1,x_2,\cdots,x_n$x1​,x2​,⋯,xn​使得$\beta=\sum_{i=1}^nx_i\alpha_i,$β=i=1∑n​xi​αi​,称$(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$(x1​,x2​,⋯,xn​)T是$\beta$β在基$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$α1​,α2​,⋯,αn​下的坐标.
定理
如果在线性空间$V$V中有$n$n个线性无关的向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$α1​,α2​,⋯,αn​,且$V$V中任何向量都可用$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$α1​,α2​,⋯,αn​线性表出，那么$V$V是$n$n维的，而$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$α1​,α2​,⋯,αn​就是$V$V的一组基.

5.1.5

定理
设线性空间$V$V的两组基是$\epsilon_1,\epsilon_2,\dots,\epsilon_n$ϵ1​,ϵ2​,…,ϵn​和$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$η1​,η2​,⋯,ηn​,由$\epsilon_1,\epsilon_2,\dots,\epsilon_n$ϵ1​,ϵ2​,…,ϵn​到$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$η1​,η2​,⋯,ηn​的过渡矩阵是$\mathbf{C}$C,则$\mathbf{C}$C是可逆矩阵.如果向量$\mathbf{\alpha}$α在这两组基下的坐标分别是$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$x=(x1​,x2​,⋯,xn​)T和
$\mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots,y_n)^T$y=(y1​,y2​,⋯,yn​)T，则$\mathbf{x}=\mathbf{Cy}$x=Cy
下图为三者关系（过渡矩阵，基变换，坐标变换）