内容概述

本节首先指出了线性变换和矩阵变换的等价性，并介绍了用矩阵来描述线性变换的方法；接着，举了几个二维空间线性变换的几何特性；最后，从线性变换的角度讨论了解的存在性和唯一性问题，并和之前的概念进行了关联。

$\mathbb R^n$Rn到$\mathbb R^m$Rm的线性变换和矩阵变换的关系

下面的讨论指出，

• 从$\mathbb R^n$Rn到$\mathbb R^m$Rm的每一个线性变换实际上都是一个矩阵变换$\boldsymbol x \rightarrow A\boldsymbol x$x→Ax，
• 变换$\boldsymbol T$T的重要性质都归结为$\boldsymbol A$A的性质。
• 寻找矩阵$A$A的关键是了解$\boldsymbol T$T完全由它对$n \times n$n×n单位矩阵$I_n$In​的各列的作用所决定。
  例：

$I_n = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$In​=[10​01​]的两列是$\boldsymbol e_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}$e1​=[10​]和$\boldsymbol e_1 = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}$e1​=[01​]，设$\boldsymbol T$T是$\mathbb R^2$R2到$\mathbb R^3$R3的线性变换，满足：
$\boldsymbol T(\boldsymbol e_1) = \begin{bmatrix}5 \\ 7 \\ -2\end{bmatrix}, \boldsymbol T(\boldsymbol e_2) = \begin{bmatrix}-3 \\ 8 \\ 0\end{bmatrix}$T(e1​)=⎣⎡​57−2​⎦⎤​,T(e2​)=⎣⎡​−380​⎦⎤​
在此条件下求出$\mathbb R^2$R2中任意向量$\boldsymbol x$x的像的公式。

解：

对于$\mathbb R^2$R2中的任意向量$\boldsymbol x$x，有：
$\boldsymbol x = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix} = x_1\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix} = x_1\boldsymbol e_1 + x_2\boldsymbol e_2$x=[x1​x2​​]=x1​[10​]+x2​[01​]=x1​e1​+x2​e2​
因为$\boldsymbol T$T是线性变换，所以有：
$\boldsymbol T(\boldsymbol x)=x_1\boldsymbol T(\boldsymbol e_1)+x_2\boldsymbol T(e_2)=x_1\begin{bmatrix}5 \\ 7 \\-2\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}-3 \\ 8 \\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5x_1-3x_2 \\ 7x_1+8x_2 \\-2x_1 + 0\end{bmatrix}$T(x)=x1​T(e1​)+x2​T(e2​)=x1​⎣⎡​57−2​⎦⎤​+x2​⎣⎡​−380​⎦⎤​=⎣⎡​5x1​−3x2​7x1​+8x2​−2x1​+0​⎦⎤​
如果把上述$\boldsymbol T(\boldsymbol e_1)$T(e1​)和$\boldsymbol T(\boldsymbol e_2)$T(e2​)作为矩阵的列，把上式写成向量相乘的形式，那么可以得到下面的公式：
$\boldsymbol T(\boldsymbol x) = [\boldsymbol T(\boldsymbol e_1)\quad \boldsymbol T(\boldsymbol e_2)]\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix} = A\boldsymbol x$T(x)=[T(e1​)T(e2​)][x1​x2​​]=Ax
上面举的例子是一个感性认识，下面是定理和证明：
定理：
设$\boldsymbol T:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m$T:Rn→Rm为线性变换，则存在唯一的矩阵$A$A，使得对$\mathbb R^n$Rn中一切$\boldsymbol x$x，
$\boldsymbol T(\boldsymbol x) = A\boldsymbol x$T(x)=Ax
事实上，$A$A是$m \times n$m×n矩阵，它的第$j$j列是向量$\boldsymbol T(\boldsymbol e_j)$T(ej​)，其中$\boldsymbol e_j$ej​是$\mathbb R^n$Rn中单位矩阵$\boldsymbol I_n$In​的第$j$j列：
$A = [\boldsymbol T(\boldsymbol e_1)\quad \cdots \quad \boldsymbol T(\boldsymbol e_n)]$A=[T(e1​)⋯T(en​)]

证明：

记$\boldsymbol x = \boldsymbol I_n\boldsymbol x = [\boldsymbol e_1 \quad \cdots \quad \boldsymbol e_n]\boldsymbol x = x_1\boldsymbol e_1 + \cdots +x_n\boldsymbol e_n$x=In​x=[e1​⋯en​]x=x1​e1​+⋯+xn​en​，由于$\boldsymbol T$T是线性变换，知：
$\boldsymbol T(\boldsymbol x)=\boldsymbol T(x_1\boldsymbol e_1 + \cdots + x_n\boldsymbol e_n) = x_1\boldsymbol T(\boldsymbol e_1) + \cdots + x_n\boldsymbol T(\boldsymbol e_n) = [\boldsymbol T(\boldsymbol e_1) \quad \cdots \quad \boldsymbol T(\boldsymbol e_n)]\begin{bmatrix}x_1 \\ ...\\ x_n\end{bmatrix} = A\boldsymbol x$T(x)=T(x1​e1​+⋯+xn​en​)=x1​T(e1​)+⋯+xn​T(en​)=[T(e1​)⋯T(en​)]⎣⎡​x1​...xn​​⎦⎤​=Ax
矩阵$A$A称为线性变换$\boldsymbol T$T的标准矩阵。
上述讨论表明了：由$\mathbb R^n$Rn到$\mathbb R^m$Rm的每个线性变换都可看作矩阵变换，反之亦然。并且：

• 线性变换强调映射的性质
• 矩阵变换描述该映射的具体实现

例：

设$\boldsymbol T: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2$T:R2→R2为把$\mathbb R^2$R2中每一个点绕原点逆时针旋转正角度$\varphi$φ的变换。求出这个变换的标准矩阵。

解：

$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}$[10​]变换为$\begin{bmatrix}\cos \varphi \\ \sin \varphi \end{bmatrix}$[cosφsinφ​]，$\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}$[01​]变换为$\begin{bmatrix}-\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{bmatrix}$[−sinφcosφ​]，由上述定理可知：
$A = \begin{bmatrix}\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{bmatrix}$A=[cosφsinφ​−sinφcosφ​]

$\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2$R2→R2线性变换的几何变换举例

下图表示了几种$\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2$R2→R2线性变换的几何图像表现。因为这些变换都是线性的，故它们完全由变换对$\boldsymbol I_2$I2​的作用决定。

存在与唯一性问题

这里从线性变换的角度来思考存在性与唯一性的问题。
首先引入两个定义：
定义1：

映射$\boldsymbol T: \mathbb R^n \rightarrow R^m$T:Rn→Rm称为到$R^m$Rm上的映射，若$R^m$Rm中每个$\boldsymbol b$b是$\mathbb R^n$Rn中至少一个$\boldsymbol x$x的像（也称为满射）。

定义2：

映射$\boldsymbol T: \mathbb R^n \rightarrow R^m$T:Rn→Rm称为一对一映射（或1：1），若$\mathbb R^m$Rm中每个$\boldsymbol b$b是$\mathbb R^n$Rn中至多一个$\boldsymbol x$x的像（也称为单射）。

定义1描述的是存在性问题，也可以等价于下面的语句：

• 当$\boldsymbol T$T的值域是整个余定义域$\mathbb R^m$Rm时，$\boldsymbol T$T是到$\mathbb R^m$Rm上的。
• 对$\mathbb R^m$Rm中每个$\boldsymbol b$b，方程$\boldsymbol T(x) = \boldsymbol b$T(x)=b至少有一个解，也就是说，方程$\boldsymbol T(x) = \boldsymbol b$T(x)=b是相容的。

对应的，如果$\mathbb R^m$Rm中有某个$\boldsymbol b$b，使得方程$\boldsymbol T(\boldsymbol x) = \boldsymbol b$T(x)=b无解，那么映射$\boldsymbol T$T不是到$\mathbb R^m$Rm上的。

定义2描述的是唯一性问题。对于$\mathbb R^m$Rm中每个$\boldsymbol b$b，对应于如下两种情况：

• 方程$\boldsymbol T(x) = \boldsymbol b$T(x)=b有唯一的解
• 方程$\boldsymbol T(x) = \boldsymbol b$T(x)=b无解
  

例：

设$\boldsymbol T$T是线性变换，它的标准矩阵为：
$\begin{bmatrix}1 & -4 & 8 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 3 \\0 & 0 & 0 & 5\end{bmatrix}$⎣⎡​100​−420​8−10​135​⎦⎤​
$\boldsymbol T$T是否把$\mathbb R^4$R4映上到$\mathbb R^3$R3？$\boldsymbol T$T是否是一对一映射？

解：

1. 由于上述矩阵是阶梯形矩阵，且每一行均有主元位置，因此，对于$\mathbb R^3$R3中的每个$\boldsymbol b$b，方程$A\boldsymbol x = \boldsymbol b$Ax=b是相容的。因此，$\boldsymbol T$T将$\mathbb R^4$R4映射到$\mathbb R^3$R3上。
2. 因为$A\boldsymbol x = \boldsymbol b$Ax=b含有自由变量（4列有四个变量，但只有3行，每一行一个主元，所以只有3个基本变量），所以每个$\boldsymbol b$b都有多个$\boldsymbol x$x的像，所以$\boldsymbol T$T不是一对一的。

下面的定理很重要，把线性无关的和线性变换的概念联系了起来。
定理：

设$\boldsymbol T: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m$T:Rn→Rm为线性变换，则$\boldsymbol T$T是一对一的当且仅当方程$A\boldsymbol x = \boldsymbol 0$Ax=0仅有平凡解。

证明：

1. 若$\boldsymbol T$T是一对一的。又因$\boldsymbol T$T是线性的，故$\boldsymbol T(\boldsymbol 0) = \boldsymbol 0$T(0)=0，所以方程$\boldsymbol T(\boldsymbol x) = \boldsymbol 0$T(x)=0仅有一个解，这个解就是平凡解$\boldsymbol 0$0。
2. 若$\boldsymbol T$T不是一对一的。则$\mathbb R^m$Rm中某个$\boldsymbol b$b是$\mathbb R^n$Rn中至少两个相异向量的像（假设这两个向量分别是$\boldsymbol u$u，$\boldsymbol v$v），因此有$\boldsymbol T(\boldsymbol u) = \boldsymbol b$T(u)=b，$\boldsymbol T(\boldsymbol v) = \boldsymbol b$T(v)=b。又因为$\boldsymbol T$T是线性的，所以有：$\boldsymbol T(\boldsymbol u-\boldsymbol v)=\boldsymbol T(\boldsymbol u) - \boldsymbol T(\boldsymbol v) = \boldsymbol b -\boldsymbol b =\boldsymbol 0$T(u−v)=T(u)−T(v)=b−b=0
   由于$\boldsymbol u \neq \boldsymbol v$u​=v，所以向量$\boldsymbol u - \boldsymbol v$u−v不是零向量，又因为$\boldsymbol T(\boldsymbol 0) = \boldsymbol 0$T(0)=0，所以方程$\boldsymbol T(x) = \boldsymbol 0$T(x)=0有多于一个解

综上，定理中的两个条件同时成立或同时不成立，因此该定理得证。

根据上述定理，结合以前学到的内容，又可以归纳出下述定理：
定理：

设$\boldsymbol T: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m$T:Rn→Rm是线性变换，设$A$A为$\boldsymbol T$T的标准矩阵，则：

1. $\boldsymbol T$T把$\mathbb R^n$Rn映上到$\mathbb R^m$Rm，当且仅当$A$A的各列生成$\mathbb R^m$Rm
2. $\boldsymbol T$T是一对一的，当且仅当$A$A的各列线性无关