符号说明
概率单纯形$\Sigma_{n}$Σn​：
+
histogram（或概率向量）:$a \in \Sigma_{n}$a∈Σn​ (列和为1的正向量)
离散测度：权重为$a$a，位置为$x_1,..,x_n \in \mathcal{X}$x1​,..,xn​∈X的离散测度为

概率测度：离散测度的特殊情况，详见2.1中Remark 2.1.
在空间$\mathcal{X}$X的随机测度为$\mathcal{M(X)}$M(X)，距离表示为$d$d，连续函数表示为$f \in \mathcal{C(X)}$f∈C(X)
测度的密度：$\mathcal{X}=R^{d}$X=Rd，有密度$d\alpha(x)= \rho_{\alpha}(x)dx$dα(x)=ρα​(x)dx
$\mathcal{M_{+}(X)}$M+​(X)是在$\mathcal{X}$X上的所有正测度集合。
概率测度集合$\mathcal{M_{+}^{1}(X)}$M+1​(X)：对于任何$\alpha \in \mathcal{M_{+}^{1}(X)}$α∈M+1​(X)为正，并且$\alpha(\mathcal{X})=\int_{\mathcal{X}}d\alpha=1$α(X)=∫X​dα=1
$Perm(n)$Perm(n)：$n$n个元素排列的集合
Push-forward operator $T_\# \alpha=\beta$T#​α=β（离散）&$T_{\#}: \mathcal{M(X) \to M(Y)}$T#​:M(X)→M(Y)（连续） ：将$\alpha$α的质量推到$\beta$β的质量上，详见Remark 2.5和Remark 2.4。
Transportation cost：

详见 Remark 2.4.
pull-back function $T^{\#}: \mathcal{C(Y) \to C(X)}$T#:C(Y)→C(X)

详见Remark 2.8.

2. 理论基础

本章描述优化运输基础，介绍了第一个优化运输基础，引入在概率向量$(a,b)$(a,b)之间的优化匹配和耦合的概念，将运算一般化到离散测度$(\alpha, \beta)$(α,β)，最后包含任何测度。

2.1 Histograms and Measures

令histogram和概率向量表示$a \in \Sigma_{n}$a∈Σn​的任意元素。其中$\sigma_n$σn​是概率单纯形

这个综述很大程度上关注在单纯形上的优化运输引起的几何研究。

Remark 2.1 （离散测度）权重为$a$a，位置为$x_1,..,x_n \in \mathcal{X}$x1​,..,xn​∈X的离散测度为

其中$\delta_{x_i}$δxi​​是在位置$x_i$xi​的 Dirac，是一个质量单位（无限聚集在位置$x$x的质量）。
为了避免退化问题（没有质量的位置被考虑），当考虑离散测度时假设$a$a中所有元素都是正的。
如果$a \in \sigma_{n}$a∈σn​或者更一般的$a \geq 0$a≥0，这个测度描述的是概率测度。

Remark 2.2（一般的测度）在空间$\mathcal{X}$X的随机测度为$\mathcal{M(X)}$M(X)，$\mathcal{X}$X中的距离表示为$d$d，连续函数表示为$f \in \mathcal{C(X)}$f∈C(X)。（在连续函数上进行积分可以获得测度信息）
在离散测度$\alpha$α上$f \in \mathcal{C(X)}$f∈C(X)的积分为加和：

对于$\mathcal{X}=R^{d}$X=Rd，有密度$d\alpha(x)= \rho_{\alpha}(x)dx$dα(x)=ρα​(x)dx，对于Lebesgue测度，表示为$\rho_{\alpha}=\frac{d \alpha}{dx}$ρα​=dxdα​，意味着

一个任意测度$\alpha \in \mathcal{M(X)}$α∈M(X)（不需要有密度或者Diracs和）可以被定义通过它可以对连续函数$f \in \mathcal{C(X)}$f∈C(X)积分$\int_{\mathcal{X}} f(x) d\alpha(x) \in R$∫X​f(x)dα(x)∈R。如果$X$X是紧的，可以强制$f$f有紧支撑集，在无穷处至少极限为0.
$\mathcal{M_{+}(X)}$M+​(X)是在$\mathcal{X}$X上的所有正测度集合。
概率测度集合$\mathcal{M_{+}^{1}(X)}$M+1​(X)：对于任何$\alpha \in \mathcal{M_{+}^{1}(X)}$α∈M+1​(X)为正，并且$\alpha(\mathcal{X})=\int_{\mathcal{X}}d\alpha=1$α(X)=∫X​dα=1
图2.1展示了不同类型的测度。

2.2 Assignment and Monge Problem

给定 cost matirx $(C_{i,j})_{i \in [n], j \in [m]}$(Ci,j​)i∈[n],j∈[m]​，假定$n=m$n=m，optimal assigment problem就是在集合 $Perm(n)$Perm(n)中 寻找双射$\sigma$σ使得

optimal assigment problem——寻找使得cost达到最小的排列。好像图论中的最小权匹配与此问题相似
Remark 2.3（唯一性）optimal assignment problem可能有多个最优解。例如 $n=m=2$n=m=2，如图 2.2的左图所示，两个 assignemt都是最优的。

Remark 2.4（在离散测度下的Monge problem）对于离散测度

Monge problem就是找到一个映射，使得对对每个点$x_i$xi​关联到点$y_j$yj​，将$\alpha$α的质量推到$\beta$β的质量上，即 map $T: {x_1,..,x_n} \to {y_1,...,y_m}$T:x1​,..,xn​→y1​,...,ym​，有

写成紧的形式为$T_{\#}\alpha=\beta$T#​α=β。由于$b$b的所有元素都是正的，这个映射是满射。这个映射应该最小化 transportation cost。Transportation cost通过函数$c(x,y)$c(x,y)参数化（定义在每个点$(x,y) \in \mathcal{X \times Y}$(x,y)∈X×Y上），

在离散点间的map可以被重写。假设所有的$x$x和$y$y都是不同的，使用索引

此时mass conservation可以被写为

特别地当$n=m$n=m，所有的权重都是均匀分布$a_i=b_j=\frac{1}{n}$ai​=bj​=n1​，mass conservation约束意味着$T$T是满射，Monge问题等价月optimal matching problem（2.2），其中 cost matrix为

Remark 2.5 (push-forward operator) 对于连续映射 $T: \mathcal{X \to Y}$T:X→Y，定义对应的 push-forward operator $T_{\#}: \mathcal{M(X) \to M(Y)}$T#​:M(X)→M(Y)。回顾对于离散的情况，$T_{\#}$T#​的公式，push-forward operation 相当于移动测度支撑集中所有点的位置

对于有密度的测度，push-forward的定义在描述概率测度的空间更新（或者运输）方面有发挥了非常重要的作用。
定义 2.1 (push-forward) 对于$T: \mathcal{X} \to \mathcal{Y}$T:X→Y, 对于$\alpha \in \mathcal{M(X)}$α∈M(X) push-forward measure $\beta = T_{\#} \alpha \in \mathcal{M(Y)}$β=T#​α∈M(Y)满足

相等的，对于任意测度$B \in \mathcal{Y}$B∈Y有

可以注意到$T_{\#}$T#​保存了positive和全部的质量，有如果$\alpha \in \mathcal{M_{+}^{1}(X)}$α∈M+1​(X)，则$T_{\#} \alpha \in \mathcal{M_{+}^{1}(Y)}$T#​α∈M+1​(Y)
对 push-operator 的理解
测度映射$T: \mathcal{X} \to \mathcal{Y}$T:X→Y可以被理解为将测度空间中一个点移动到另一个测度空间的函数。
$T_{\#}$T#​是$T$T的扩展，将$\mathcal{X}$X上的概率测度移动到$Y$Y上的概率测度。
$T_{\#}$T#​ push forward $\mathcal{X}$X上测度$\alpha$α中每个元素的质量到$\mathcal{Y}$Y上每个元素的质量。
$T_{\#}$T#​是线性的，$T_{\#}(\alpha_1+\alpha_2)=T_{\#}\alpha_1+T_{\#}\alpha_2$T#​(α1​+α2​)=T#​α1​+T#​α2​

Remark 2.6 (Push-forward for multivariate densities) 在$R^{d}$Rd中的测度有密度$(\rho_{\alpha}, \rho_{\beta})$(ρα​,ρβ​)，假设T是光滑的、双射。有

Remark 2.7（在任意测度下的Monge problem ）

Remark 2.8 (push-forward vs. pull-back) pull-back function $T^{\#}: \mathcal{C(Y) \to C(X)}$T#:C(Y)→C(X)。对于$g \in \mathcal{C(Y)}$g∈C(Y),

push-forward和pull-back是相伴随的

当测度$(\alpha, \beta)$(α,β)有密度的情况分析

Remark 2.9 （测度和 随机变量）