序言

学数字信号处理的时候遇到频谱混叠，没有太在意，现在学计算机控制系统又遇到了它，所以我决定花点时间解决它，在开始前，我会先准备一些预备知识，主要有如下内容

• 复习傅里叶变换
• 拉氏变换与傅里叶变换的关系
• 时域谱与频域谱之间的关系

如果觉得自己的信号与系统基础比较薄弱，可以先去认真看看前面的预备知识，然后我会开始今天的正题，什么是频谱混叠。

预备知识

复习傅里叶变换

深入浅出地讲解傅里叶变换

拉式变换与傅里叶变换的关系

傅氏变换、拉式变换、Z变换之间的关系

时域谱与频域谱之间的关系

时域谱	频域谱
连续	非周期
离散	周期
周期	离散
非周期	连续

什么是频谱混叠

时域上的理解

如上图所示，红色是真实的连续信号，蓝色小方框是我们的采样点，蓝色曲线是我们拟合出来地信号，很显然，由于采样频率过低我们无法还原出真实的信号，而是得到了一个低频信号，这就是频谱混叠在时域中的表现。

其实在日常生活中，频谱混叠的现象是很常见的，小时候有没有盯着屋顶的吊扇观察过，是不是感觉在反转，这是由于我们人眼的采样频率跟不上风扇的转速，本来是正转到$300^{\circ}$300∘，结果我们以为是反转到$60^{\circ}$60∘。

频域上的理解

当采样频率低于信号最高频率的2倍时，有一部分的高频信号无法被复现（原因可以看上面的时域分析），而是表现成了低频信号，在频谱上的表现就是高频部分的图像会向低频部分移动，也就是本该是高频的幅度，现在却成了低频的幅度。如下所示，第一张图片是原始信号与在100Hz的采样频率下得到的采样信号的对比，我们可以看到几乎差不多，第二章图片是原始信号与在50Hz的采样频率下得到的采样信号的对比，我们可以看到查了挺多的，由于混叠现象，频谱已经发生了很严重的失真。