频域分析中的三频段理论

“三频段”理论

对于最小相位系统而言，幅频特性曲线与相频特性曲线是一一对应的，所谓一一对应便是可以通过幅频特性曲线得到相频特性曲线中的信息，比如可以通过幅值裕度来判断相角裕度的大小。利用最小相位系统的一一对应特性之后，便可通过研究系统的幅值特性曲线来判断系统的特性，即快、准、稳。然后通过串联或者增加反馈装置来调节现有系统的幅频特性曲线，以满足对系统的要求，比如稳定性要求(相角裕度、幅值裕度)、稳态精度(稳态误差)、响应时间(对应频域中的剪切频率、时域中的调节时间)。

这就引出了三频段理论-低频、中频和高频段。利用三频段特性来设计系统，或系统的校正装置。这三个频段，分别侧重影响了系统的不同特性。低频段主要对应系统的稳态精度和响应速度(开环增益$K$K，系统型别$v$v)；中频段主要反映了系统的稳定性和动态性能(中频段对应了系统的幅值剪切频率和相频剪切频率，这分别对应了系统的幅值裕度$h$h与相角裕度$\gamma$γ，同时相角裕度与剪切频率也决定了系统的调节时间、峰值时间和超调量等参数，这反映了系统的动态性能)；高频段主要体现了系统的抗噪声能力，高频段的分贝斜率越大则抗噪声能力越好(高频噪声的幅值衰减越快)。

穿越频率(剪切频率)附近为中频段，低于中频的为低频段，高于中频的为高频段。

一般要求系统在穿越频率附近的斜率为$-20dB/十倍频程$−20dB/十倍频程，这样能够保证系统在中频段的幅值和相角都是缓慢变化的，这保证了系统能有充足的幅值裕度和相角裕度；若穿越频率处斜率为$-40dB/十倍频程$−40dB/十倍频程则系统可能稳定也可能不稳定，若斜率为$-60dB/十倍频程$−60dB/十倍频程或者更陡，则系统大概率不稳定。
为了得到满意的性能，相角裕度在$30-60deg$30−60deg之间，幅值裕度大于$6dB$6dB，对于具有上述裕量的最小相位系统，即使系统的开环增益和元器件的参数在一定范围内变化，也可以保证系统的稳定性。

注意:三频段理论只适用与单位反馈的最小相位系统

一般的，如果给出系统的时域性能指标，并要求用频域方法来设计控制器，那么我们需要将时域指标转换至频域，具体的转换关系如下;