带通与低通信号的表示

将带通信号转化为等效的低通信号
实信号$x(t)$x(t)的频域特性：频域幅度偶对称，频域相位奇对称。因此我们只需要分析单边频域就可以完整重构$x(t)$x(t)。

将$x(t)$x(t)的正频率部分叫做$x(t)$x(t)的解析信号，可以通过该部分解析出$x(t)$x(t)来。

$u_{-1}(f) = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}sng(f)$u−1​(f)=21​+21​sng(f)，滤波器为希尔伯特变换
涉及的两个变换对：
$\frac{1}{t}\leftrightarrow$t1​↔-j$\pi sgn(f)$πsgn(f), $\delta(t)\leftrightarrow1$δ(t)↔1

希尔伯特变换的频域表示：

希尔伯特变换相当于对正频率进行-90度相移，对负频率部分进行+90相移，可以看成顺时针旋转90度。

等效低通的转化

本质是将高频窄带带通信号的正频率部分进行平移，化成等效的低通信号形式（乘以二方便以后处理
），具体变换如下：

傅里叶正变换

傅里叶逆变换（角频率形式）

傅里叶逆变换（频率形式）
$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(f)e^{j2\pi ft}d{2\pi f}$f(t)=2π1​∫−∞+∞​F(f)ej2πftd2πf