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常见概率分布

分类: 文章 • 2024-03-08 11:42:46

常见离散概率分布

分布	参数范围	概率质量函数	期望	方差
两点/伯努利分布 $X\sim Bernoulli(p)$	$0<p<1$	$P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k}\\k=0,1$	$p$	$p(1-p)$
二项分布 $X\sim B(n,p)$	$0<p<1\\n\geq1整数$	$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}\\k=0,1,...,n$	$np$	$np(1-p)$
泊松分布 $X\sim P(\lambda)$	$\lambda>0$	$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\k=0,1,...$	$\lambda$	$\lambda$
几何分布 $X\sim G(p)$	$0<p<1$	$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\\k=1,2,...$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$
超几何分布 $X\sim H(N,M,n)$	$M\leq N,n\leq N$ 整数	$P(X=k)=\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\\k=0,1,...,\min(M,N)$	$\frac{nM}{N}$	$\frac{nM}{N}(1-\frac{M}{N})\frac{N-n}{N-1}$
帕斯卡分布 $X\sim B_0(r,p)$	$0<p<1\\r\geq1整数$	$P(X=k)=C_{k-1}^{r-1}p^r(1-p)^{k-r}\\k=r,r+1,...$	$\frac{r}{p}$	$\frac{r(1-p)}{p^2}$

常见连续概率分布

分布	参数范围	密度函数	期望	方差
柯西分布	$\lambda>0,\mu常数$	$p(x)=\frac{1}{\pi}\frac{\lambda}{\lambda^2+(x-\mu)^2}\\-\infty<x<+\infty$	不存在	不存在
均匀分布 $X\sim U[a,b]$	$a<b$ 常数	$p(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a},a\leq x\leq b\\0,\quad otherwise\end{cases}$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a)^2}{12}$
指数分布 $X\sim E(\lambda)$	$\lambda>0$ 常数	$p(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},x\geq0\\0,\qquad x<0\end{cases}$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{1}{\lambda^2}$
正态分布 $X\sim N(\mu,\sigma)$	$-\infty<\mu<+\infty\\\sigma>0$ 常数	$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\}\\-\infty<x<+\infty$	$\mu$	$\sigma^2$
$\chi^2$ 分布 $X\sim \chi^2(n)$	$n$ 正整数	$p(x)=\begin{cases}\frac{1}{2^{n/2}\Gamma(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-x/2},x\geq0\\0,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x<0\end{cases}$	$n$	$2n$
$\Gamma$ 分布 $X\sim\Gamma(\lambda,r)$	$r>0,\lambda>0$ 常数	$p(x)=\begin{cases}\frac{\lambda^r}{\Gamma(r)} x^{r-1}e^{-\lambda x},x\geq0\\0,\qquad\qquad\qquad x<0\end{cases}$	$\frac{r}{\lambda}$	$\frac{r}{\lambda^2}$
$t$ 分布 $t(n)$	$n$ 正整数	$p(x)=\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}(1+\frac{x^2}{n})^{-(n+1)/2}\\-\infty<x<+\infty$	$0(n>1)$	$\frac{n}{n-2}(n>2)$
$\beta$ 分布 $X\sim \beta(p,q)$	$p>0,q>0$ 常数	$p(x)=\begin{cases}\frac{\Gamma(p+q)}{\Gamma(p)\Gamma(q)}x^{p-1}(1-x)^{q-1},0<x<1\\0,\qquad\qquad\qquad x\leq0 x\geq1\end{cases}$	$\frac{p}{p+q}$	$\frac{pq}{(p+q)^2(p+q+1)}$
$F$ 分布	$k_1,k_2$ 正整数	$p(x)=\begin{cases}\frac{\Gamma(\frac{k_1+k_2}{2})}{\Gamma(\frac{k_1}{2})\Gamma(\frac{k_2}{2})}k_1^{k_1/2}k_2^{k_2/2}\frac{x^{k_1/2-1}}{(k_2+k_1x)^{(k_1+k_2)/2}},x\geq0\\0,\qquad\qquad\qquad x<0\end{cases}$	$\frac{k_2}{k_2-1}\\(k_2>2)$	$\frac{2k_2^2(k_1+k_2-2)}{k_1(k_2-2)^2(k_2-4)}\\(k_2>4)$

分布之间关系

常见概率分布

常见概率统计分布及Python实现