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数学建模有必要论证“合理性”吗 / 数学建模的合理性怎么写

分类: 文章 • 2024-03-09 10:34:29

前言： 参加过一些数学建模比赛，也顺其自然地读了不少参赛论文，对“数学建模有没有必要论证合理性”这个问题发表一点拙见，欢迎捶我。

回答这个问题：数学建模没必要论证合理性。

原因如下：

  • 一般来讲，数学模型都是“有依据”地建立起来的；
  • 数学模型并非要多精准，大部分情况下，它的任务只是把问题的特征抽象出来，用于描述“趋势”；
  • 如果非要论证“合理性”，只能说明建立时“依据不足”或者独创性太强，可以考虑实证研究等手段。

接下来我们具体聊聊上述三条原因。

一般来讲，数学模型都是“有依据”地建立起来的。

为了更好地论证我的观点，不妨把数学模型分为三类：

  • 绝对精准的模型，如物理公式；
  • 接近精准的模型，如应用了物理公式的模型；
  • 抽象的模型，忽略了很多与问题不想关的因素，只把关键特征进行抽象，如绝大部分数学模型。

这三种模型都是有“依据”的，且其“依据”的权威程度呈递减趋势，但实用性和常用性呈上升趋势。

绝对精准的模型一般只有在理想的环境中才成立。之所以叫“绝对精准”，是因为其是在已有的公理、定理、人们都认可的假设之上进行数学推导得到的。

比如我们在高中物理学过的宏观力学基础：

  • 我们认可牛顿三定律（惯性定律，F=maF=ma，F=−FF=-F）的存在；
  • 对牛顿三定律进行数学上的推导，便得到了许多“一定正确”的数学模型：动量定理Ft=mΔvFt=m\Delta v、动量守恒定理、角动量守恒定理L=JωL=J\omega、动能定理W=12mvt2−12mv02W=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_0^2、功的原理、功能原理、能量守恒和转化定律…

绝对精准的模型从本质上将问题分类、抽象描述，但面临一个问题：必须在理想情况或宏观视角下才成立。

什么意思呢？

数学建模有必要论证“合理性”吗 / 数学建模的合理性怎么写

在高中物理中，滑块m从斜坡M下滑这个过程可以带来好多力学问题，但我们通常会忽略“空气阻力”的影响。即便考虑了，恐怕也只是多带一个参数罢了。毕竟，空气阻力小到不用考虑，我们可以放心大胆地使用精准的物理公式，这就属于理想情况。

建立绝对精准的模型时，力学三定律都是人们已经认可的，而你的数学推导如果是正确的，那你的结论/模型则一定是合理的，因此，绝对精准的模型没必要论证合理性。

接近精准的模型使用了绝对精准的模型中的方法与思想，忽略了问题中不相关的因素。

这类模型往往用于解决一个现实问题，在建模过程中尽量排除干扰，使用人们认可的定理与假设。因为要考虑时间等因素的影响，往往从微积分入手，比如求炮弹轨迹或者热量传导：

为了拟合模型中的参数，往往使用插值拟合等方法。

这类模型的“依据”也是定律、公理与数学，因此也不需要论证其合理性。

抽象的模型是笔者最喜欢的一类模型（因为笔者物理与微积分功底不太好…lol），多见于各种问题，这里用经济管理问题举例。

毕竟，社会系统如此庞杂，很难用模型将其各部分“准确”描述；在建模时，忽略与问题不相关的部分，关注问题中各主体见间的关系就好。

比如，现在要研究三方竞争博弈下基于产品质量与服务水平的供应链金融策略，我们读到了论文[1]。

文中提到：

根据张国兴和 Chen 等人构造的线性需求函数，顾客对产品ii的需求函数可以表达为：
Di(p,q,s)=ϵiα−bipi+β1pj+b2qi−β2qj+b3sj,i,j=1,2D_i(p,q,s) = \epsilon_i \alpha - b_i p_i + \beta_1 p_j + b_2 q_i - \beta_2 q_j + b_3 s_j, i,j = 1,2
其中…

你可以观察到，上述式子中，所有的关系都是线性的，即产品需求与产品价格、质量、服务水平间都是线性的。

等下等下，我有两点疑惑：

  • 的确，产品质量有好坏之分，但是你凭什么用一个常数qq来描述产品的好坏呢？根据产品生产线的ISO认证来评分吗？根据产品用户满意度调查吗？根据产品售后数据吗？单单一个qq可以反映这些因素吗？
  • 就算你的qq可以描述产品质量，你凭什么说质量与需求是线性的呢？凭什么不是指数的？凭什么不是分段函数？凭什么不是多项式？

这两点疑惑也就是，回扣题目，你的模型合理吗？你如何论证模型是合理的？

我的观点是，在这个问题中，这个需求函数模型是合理的。

原因如下：

首先，qq是依据什么来评价产品质量的并不重要。在这个问题中，产品质量确实有好坏之分，因此用连续变量qq来描述合情合理。

其次，qq凭什么与需求函数是线性关系？第一，文章也指出了，“根据张国兴和 Chen 等人构造的线性需求函数”，即有前人文献、研究支持；第二，qq与需求函数具体什么关系不重要，我们这里只需要有“+b2qi−β2qj+ b_2 q_i - \beta_2 q_j”这两项，来表达产品i的需求量与自己的质量成正比，与对手的质量成反比就足够了。既然只需要描述正反比，何不用最简单的线性函数呢？

OK，那我还有一个巨大的疑问：

  • 那这么说，你这个模型也不准确呀？
  • 假设我现在给你数据“q1=1,q2=2...q_1=1,q_2=2...”，你能保证实际的需求量一定是D(p,q,s)D(p,q,s)函数所得吗？

回答这个问题，很简单，我们只需要明确，我们的模型不是预测模型。不是所有的模型都是预测模型，不是所有模型都必须要在数量关系上准确。

在这篇文章中（在这个模型中），我们研究的是不同博弈策略下，D(p,q,s)D(p,q,s)及其相关变量的关系，大多通过博弈论与求导的方法进行研究。

比如下图[1]：

数学建模有必要论证“合理性”吗 / 数学建模的合理性怎么写

你看，我们不需要模型给我们明确的数量。我们只需要这类模型给我们知道意见。在这个例子中，管理者将意识到：如果想提升产品质量水平，应该让该三方供应链中的制造商投资比例下降。

这种思想还常用于规划模型：

  • 得到求最优解的方法；
  • 调参数，求最优解与最优目标函数值；
  • 对比不同参数下的目标函数值变化（灵敏度分析）；
  • 依此对参数的选择与现实问题给出指导意见。

讲到这里，相信你也理解了我的另外两条观点：

  • 数学模型并非要多精准，大部分情况下，它的任务只是把问题的特征抽象出来，用于描述“趋势”；
  • 如果非要论证“合理性”，只能说明建立时“依据不足”或者独创性太强，可以考虑实证研究等手段。

所以你看，数学建模的合理性并不需要论证，因为我们在建模时就充分将其考虑了。

REFERENCES:
[1] 王文韬. 合作质量投资情形下商品三重竞争均衡与协调策略研究[D].

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