倍增法求LCA

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LCA指的是最近公共祖先(Least Common Ancestors)，如下图所示:

倍增法求LCA

　　4和5的LCA就是2

　　那怎么求呢？最粗暴的方法就是先dfs一次，处理出每个点的深度

倍增法求LCA

　　然后把深度更深的那一个点（4）一个点地一个点地往上跳，直到到某个点（3）和另外那个点（5）的深度一样

然后两个点一起一个点地一个点地往上跳，直到到某个点（就是最近公共祖先）两个点“变”成了一个点

倍增法求LCA

　　不过有没有发现一个点地一个点地跳很浪费时间？

如果一下子跳到目标点内存又可能不支持，相对来说倍增的性价比算是很高的

　　倍增的话就是一次跳2ⁱ 个点，不难发现深度差为x时，深度更深的那个点就需要跳x个点

于是可以写出这段代码

1 if(depth[a] < depth[b])    swap(a, b);
2 int c = depth[a] - depth[b];
3 for(int i = 0; i <= 14; i++){
4     if(c & (1 << i)){
5         a = up[a][i];
6     }
7 }

　　接下来很快就会发现一个很严重的问题:两个点按照这样跳，不能保证一定是最近的

所以倍增找lca的方法是这样的:

　　从最大可以跳的步数开始跳(一定是2ⁱ)，如果跳的到的位置一样，就不跳，如果不一样才跳，每次跳的路程是前一次的一半

倍增法求LCA

　　过程大概就像上图所示，但是执行完了这一段到的点不是最近公共祖先，但是，它们再往上跳一格，就到了

把这一段写成代码，就成了这样：

1 for(int i = 14; i >= 0; i--){
2     if(up[a][i] != up[b][i]){
3         a = up[a][i];
4         b = up[b][i];
5     }
6 }

　　前面还需要加上一句特判（当a和b在同一边时，深度浅的那个点就是最近公共祖先）

if(a == b)    return a;

　　好了，会求lca了，关键是怎么构造倍增数组。

没有疑问的是向上跳一格就是自己的父节点

f[i][0] = fa[i];

　　这个是初值，接着可以根据这个推出来其他的，除此之外还要附上初值0，不然有可能会RE

f[i][j] = f[f[i][j - 1]][j - 1];

　　就是把这一段路，分成两段已经知道的

　　完整代码就是这样的:

 1 Matrix<int> up;
 2 inline void init_bz(){
 3     up = Matrix<int>(16, n + 1);
 4     memset(up.p, 0, sizeof(int) * 16 * (n + 1));
 5     for(int i = 1; i <= n; i++){
 6         up[i][0] = fa[i];
 7     }
 8     for(int j = 1; j <= 14; j++){
 9         for(int i = 1; i <= n; i++){
10             up[i][j] = up[up[i][j - 1]][j - 1];
11         }
12     }
13 }

　　注意倍增求LCA适用于询问多的情况，不然光在预处理上花的时间就已经够多了（如果只有一两个询问，直接暴力就好了）

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