什么是跳跃表

引子

能够完成动态数据的增删改查最简便的数据结构是什么？

是链表。

链表查询的时间复杂度是O(n)。如何修改最简单的链表，能够让它查得快一点呢？

我们可以多增加一些连接，让它形成网络的结构。

你也可以把它改成一棵树，当然这也可以说是另一种数据结构了。

我们今天要讲跳跃表，skip list。

再增加一张链表，情况会变得很不同。

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地铁的例子

某城市的地铁有两条线，一条慢线，它包含所有的车站；一条快线，它的车站是慢线的一个真子集。

数字表示街道号。

慢线位于第二层（最底层），快线在第一层。

比如你要去121街道。

最好的选择是先走快线，走开100街道，然后走慢线，到121街道。

这个就是跳跃表。

跳跃表的第一条规则就是：最底层（在这里我们用L2表示）要包含所有的节点。

那么问题来了：L1（上一层）应该设置几个呢？

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L1的理想数值

L1的合理设计是：均匀分布。

既然L1均匀分布，那么查询一个节点的时间就是：
$T=|L_1|+\frac{|L_2|}{|L_1|}$T=∣L1​∣+∣L1​∣∣L2​∣​

$|L_1|$∣L1​∣表示$L_1$L1​的长度或者说节点数量。

假设最初的节点数量是$n$n。也就是说$|L_2|=n$∣L2​∣=n，要使得$T$T尽量的小，$|L_1|$∣L1​∣要取什么值呢？

$T=|L_1|+\frac{n}{|L_1|} \geq 2 \sqrt{n}$T=∣L1​∣+∣L1​∣n​≥2n​

当且仅当$|L_1|=\sqrt{n}$∣L1​∣=n​时取到最小值。

所以完美的跳跃表应该是这个样子的：

让跳跃表更快

如何让跳跃表查得更快？

设计更多的层。

以上的结果是推测的，当然也可以证明。

现在的关键问题是$k$k等于几，使得查询时间最小？

或者说，在已知最底层的数量的情况下（$n$n），跳跃表应该设计几层？

所以查询的时间复杂度是$O(\log_2n)$O(log2​n)。

重新设计地铁线

按照上面的推理，我们重新设计地铁线。

因为$n=8$n=8，所以我们设计三层。

那么层与层之间的比率是多少呢?假设第一层的节点数是是$r$r，于是$r^3=8$r3=8，因此第一层有两个节点。第二层我们设置4个节点。