贫乏却最美好的三段论和神奇而不太严格的欧几里得算法-逻辑与算法之六
贫乏却最美好的三段论和神奇而不太严格的欧几里得算法- 逻辑与算法之六
三段论是没有数字计算的推理，虽然如有些学者所言，这个来自希腊语的术语“三段论”本身就有计算的涵义。但希腊语的这个计算也许只是在推理意义上的计算或者演算，并没有数字计算的涵义。
照片1三段论的希腊文和英文
三段论与计算无缘，同时，它也因其是简单得不能再简单的推理，遭到近现代许多人的批评，认为它是一门毫无用处的东西。的确，三段论的内容比较贫乏，以至于无法表达几乎是同时代、同一个地区出现的算术和欧几里得几何学推理（《计算进化史》第14页）。但近代最伟大的一位数学家，却给这个贫乏的三段论以极高评价，这个人，就是德国哲学家也是数学家的莱布尼兹（1646-1716）。
在他所著《人类理智新论》论理性那一章，第十七章中，在讨论了三段论是有用还是无用时，莱布尼兹也承认，三段论的经院形式很少有用，即使用得着，也会太冗长太麻烦。但莱布尼兹很快就话锋一转，接着说：
“你相信吗?我主张，三段论形式的发明是人类心灵最美好、甚至也是最值得重视的东西之一。这是一种普遍的数学，它的重要性还没有被充分认识：并且我们可以说，其中包含着一种不谬性（其实是必然性）的技术，只要我们知道并且能够很好地加以运用的话，这不是永远能办得到的。”（《人类理智新论》第573页）
照片2《人类理智新论》
照片3莱布尼兹
我们现在学习的三段论，四个格，256个式，24个有效式，虽然简单，但已经包含现代公理体系的基本要素（参见卢卡西维兹《亚里士多德三段论》）。所以，从公理体系角度看，三段论在先，几何原本在后。遗憾的是，因为其过于简单，先后不过百年的两个公理体系，在后的似乎未从在先的创造中吸收什么东西。
照片4亚里士多德三段论
其实，普适性的科学发现，并不在意你用它还是不用它，那是一种永恒和无限，一种超越世俗的精魂。如庄子所言：
“若夫乘天地之正，而御六气之辩，以游无穷者，彼且恶乎待哉！故曰：至人无己，神人无功，圣人无名。”（《庄子通释》第4页）
照片5庄子
不过，三段论还是有个很重要的功绩值得显摆显摆，那就是，卢卡西维兹在其著作中特别强调的，亚里士多德最伟大的一个发明：
“在正确的三段论中，所有的词项都是由字母代表的，也就是说，是由变项代表的，例如‘如果R属于所有S并且P属于有些S，那么P属于有些R。’
把变项引入逻辑是亚里士多德的最伟大发明之一。就我所知，一直到现在没有一个哲学家或语言学家注意到这个最重要的事实，这几乎是令人难以置信的。”（《亚里士多德三段论》第16页）
在推理中使用变元，这是人类在语言使用上的一个飞跃，研究亚里士多德的权威学者罗斯就认为，正是因为亚里士多德开始使用变项，使得他成为逻辑学的创始人，成为当之无愧的逻辑学之父。（参见同上页）
同样可惜的是，几何原本的命题和定理的描述，也没有使用亚里士多德意义上的变项，而是使用的自然语言。所以，欧几里得基于推理的计算非常神奇，但在表达的严格性和推演的严格性上还远非完美。
变项的使用，大大扩充了人们思维的视野。从个体到类，从小类到大类，一直到范畴，这是逻辑和哲学把人的视野从有限延申到无限。而一旦变项开始使用到数学，思维就跨越了类。思维的抽象层次，仿佛从空间升腾到云端。变项的无穷指向，给人类的抽象思维提供了无穷想象的时空。
除了变项，三段论还用到了逻辑证明中的归谬法和反证法，这种推理证明方法，广泛地出现在几何原本之中。我们有关推理的思考，自然要从三段论过渡到几何原本。
基于推理的计算，最令人惊叹的古典模式是欧几里得的辗转相除法，这被今天的算法理论称之为欧几里得算法。《几何原本》的第七卷给出命题1和命题2（见《几何原本》第215-217页），就见证了这样一种算法的本源。欧几里得的伟大之处，不仅在给出算法，还在命题给出之后，都进行了命题的推理证明。证明所使用的方法，就是我们在前述三段论中提到的归谬法和反证法。
我还是不按译本，而按现代通常的逻辑或者数学的术语，来理解伟大的欧几里得算法。不希望篇幅太长，本篇为其算法的神奇而惊叹，用实例来体验。下篇再来品尝他的推理证明，领略其中使用的归谬法或者反证法吧。
这两个有关求最大公约数的命题，可简述如下。
命题1：若在两个不等的自然数中，每当用其中较大的数减去较小的数，就得到一个余数。直到余数小于小数，再从小数中连续减去余数直到小于余数。这样一直下去，如果余数除不尽前一个数，直到最后的余数为1，则此两数是互质（素）数。
命题2：若两个自然数不是互质数，则可以找到它们的最大公约数。
完全用自然语言表述的命题1，实际上给出了，显示两个不等自然数互质数的计算方法。那就是，在整个计算过程中，不断地辗转相减。我们先用一对数字实例，大数a1=3001，小数a2=907，来实例说明这个命题1。这当然是很原始，很笨拙的解释算法的方式。如果数字更大更长，计算步骤自然也就更为宏大，最后变成不可能。幸亏希腊有了逻辑学，我们才可能用逻辑的方式来理解计算。
我们开始用实例验证：
第一步，3001-907=2094，余数2094，
第二步，2094-907=1187，余数1187，
第三步，1187-907=280，余数280<907，
所以，
第四步，907-280=627，余数627，
第五步，627-280=347，余数347，
第六步，347-280=67，余数67<280
所以，
第七步，280-67=213，余数213，
第八步，213-67=146，余数146，
第九步，146-67=79，余数79，
第十步，79-67=12，余数12<67，
所以，
第十一步，67-12=55，余数55，
第十二步，55-12=43，余数43，
第十三步，43-12=31，余数31，
第十四步，31-12=19，余数19，
第十五步，19-12=7，余数7，
第十六步，12-7=5，余数5
第十六步，7-5=2，余数2，
第十七步，5-2=3，余数3>2，
所以，
第十八步，3-2=1，余数1。
这表明，3001和907这两个自然数互质。
你该惊叹古希腊欧几里得的智慧了吧。
命题2的说明，我们举《原本》注释中给出的例子，大数a1=3009和小数a2=884，其并非互质结果的计算步骤就是：
第一步，3009-884=2125，余数2125，
第二步，2125-884=1241，余数1241，
第三步，1241-884=357，余数357<884，
所以，
第四步，884-357=527，余数527，
第五步，527-357=170，余数170，
第六步，357-170=187，余数177，
第七步，187-170=17，余数17。
余数17可以被前面的170除尽，
由此，3009和884这两个自然数并非互质数。
由此，依据命题2，这两个自然数就有公约数17。这个公约数是否是最大公约数，还有待证明。但这个命题的证明不是指的某一对自然数，而是指所有满足条件的任意一对自然数。
你不能不从骨子里佩服这位天才的欧几里得，如此复杂的计算过程，被欧几里得如此清晰地表述出来。而且这里的计算，仅仅只是举出了一对数字实例，而命题指称的是整个类别，所有符合条件的自然数对。
逻辑中之所以会出现全称和特称的量词，出现变元等等术语，这个例子大概已经说明了问题。这留待以后再来探究讨论。我们把注意力，在用例子说明了命题1和命题2之后，下一篇，集中到欧几里得这个神奇算法的推理和证明中去。
在古希腊时代，第一个完整的逻辑系统是三段论，出现在《工具论》之中。而第一个完整的几何学公理系统则出现在《几何原本》中。在它们之前，无论是逻辑学还是几何学，顶多是零散局部的记录。而且，好像还没有看到纯粹的数学家来讨论归谬法和反证法，多为哲学家所考虑。也许，欧几里得算法中用到的推理方法，是把数学与逻辑联系起来的最早一部文献。也许，这会给我们理解逻辑，也为我们理解数学产生新的启示。2019/10/23