Chapter 6

个人效用函数

常用函数形式：U=E(r)−12Aσ(r)2

其中，E(r)为预期回报，A为风险厌恶度，σ(r)为收益率的标准差，是风险指标

风险溢价 (risk premium)

E(r)−E(rfree)称为风险溢价

其中E(rfree)为无风险收益，例如：短期国库券

效用无差异曲线

将效用函数值U固定，E−σ的函数关系曲线，体现出高风险对应高收益。

P.S 无差异，指的是这条曲线上效用函数值相同。

无风险资本与风险资本之间的配置

• 不考虑风险资本的内部配置比例，只研究无风险资本与风险资本的配置

• 设y为风险资本占比，求出在y比率配置下，E(rc)与σ(rc)，带入效用函数中求极值，得到极值条件下的y

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Why做此分类: 因为无风险资本的收益率固定，无方差，为最简单的特殊情况，资本配置后，总资本的收益率方差只与风险资本的方差和占比有关，即σ2(rc)=y2σ2(rrisk)，y为风险资本占比，可自行推导

资本配置线

已知无风险资本、风险资本的期望收益率及方差，在不同配置比例下，E(rc)−σ(rc)曲线称为资本配置线

只考虑无风险资产和风险资产的配置问题，资本配置线为一条直线，其斜率S称为风险报酬比，亦称夏普比率(Sharpe ratio)

夏普比率越大，意味着每增加单位风险，新增的收益率越高，越值得投资

NOTE:
如果投资者选择加杠杆买入风险资本，借债利率为rdebt，则可以在y>1后，继续推导出相应的资本配置线，刻画σ(rc)-E(rc)的关系。

公式推导中可以发现：加杠杆之后，相应的期望收益率提升了，但收益率的方差（风险）同样变大了。

由于rdebt>rfree，所以y>1后的资本配置线斜率——Sharpe ratio会减小。

最优配置比例

当效用函数U取极大值时，此时的配置比例为最优配置。结合效用函数公式和配置资产后的E、σ表达式，可以对极值进行求解。另外从图像上可以看出，效用无差异曲线与资本配置线相切时，效用函数取最大值Umax。

证明：

U=E−12Aσ2⇒U=Efree+y(Erisk−Efree)−12Aσ2risky2⇒最大值Umax=(Erisk−Efree)22Aσ2risk+Ef=S22A+Efree