解开连线
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游戏规则：通过拖拽圆点，把所有交叉到一起的连线解开，即可过关
这个游戏很简单，但是有意思的在于考虑最少需要的步数m
（1）
m=1
（2）
m=1
（3）
m=1
定理一：如果圆点的数量为n，那么最少需要的步数m<n
注意，是小于，因为位置是相对的，绝对位置并没有意义
（4）
m=2
定理二：如果n个点中任选k个点构成的子图都有交叉点，那么m>n-k
比如这一关，对于五角星来说，任选4个点构成的子图都有1个交叉点，所以m>5-4=1
（5）
m=2
定理三：去掉任意数量的边，m可能不变，也可能变小，但是不会变大
这一关中，去掉2条边就可以变成五角星，所以m>=2
（6）
m=2
（7）
m=2
这一关很容易以为最少需要的步数m=3，实际上m=2
这里就体现了定理二的妙用了，在试图用定理二证明m>2的时候发现，
有4个点构成的子图是没有交叉点的，这样，我们就可以移动另外2个点消除所有交叉点
（8）
m=3
用定理二可以得出m>2
（9）
定理四：如果n个圆点分别为点A1，点A2......点An，而且多边形A1A2......An是凸多边形，而且移动一个点之后多边形A1A2......An仍然是凸多边形，那么移动前后最少需要的步数m不变
简证：任取4个点，例如A1A2A3A4，4个点构成交叉等价于A1A3相连而且A2A4相连，所以是否交叉只取决于点在凸多边形上的相对顺序
所以，为了看起来方便可以把上图暂时变成
这样很容易看出来m=2
然后再去操作原图
（10）
m=2
（11）
m=2
（12）
m=3
这一关其实和第（8）关本质是一样的
（13）
有特殊规则的，讨论m就没有意义了
（14）
m=3
（15）
m=3
（16）
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（26）
（27）
（28）
有时会遇到这样的问题：
没有线交叉，但是很难把点全部移到洞里面去。
之所以会出现这样的问题，是因为结构不合适。
首先，要从欧拉定理说起。
多面体欧拉定理：对于简单多面体，简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系有著名的欧拉公式：V-E+F=2
简单多面体即表面经过连续变形可以变为球面的多面体，这是一个拓扑变形的概念。
多面体欧拉定理常见的2个证明中，其中一个是通过剪掉一个面，将其余的面拉平，使它变为平面图形，利用算两次的原理计算内角和证明定理。
这个把多面体变成平面图形也是拓扑的概念，理解操作方法就行，这里不需要仔细描述。
对于这个游戏来说，若干连线组成的平面图形，有的是可以看做多面体变形得到的，有的虽然不行但是也差不多，不影响我下面叙述的针对本游戏的规律的正确性。
对于一个多面体，有的面是三角形，有的面是多边形，每一个面都可以用来剪开从而摊平多面体。
为了防止出现“没有线交叉，但是很难把点全部移到洞里面去”的现象，应该选择边数较多的面来剪开。
那么，新的问题来了，在游戏一开始的时候如何寻找边数较多的面呢？
这个实际上很难完成，而且并不一定就是多面体，所以更好的策略是：
首先移动顶点，使得所有的线都没有交叉（这个步骤非常简单），可能有多种方法多种结果，任何一个都是可以的。
其次把得到的图和多面体进行比较，就能知道每个面的情况。
比如这里的第28关，可以看得出来是1个六边形加上8个三角形构成的。
最后以这个图为基础稍微调整，就能得到以任意一个面剪开的图。

这样最终得到的平面图形的可变性行就比较强，一般就不会出现“没有线交叉，但是很难把点全部移到洞里面去”的现象，除非洞的数量极高。
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这就是前面提到的洞的数量极高的现象，洞的数量极高的话，难度也会急剧上升。
这个时候仅仅用前面提到的方法已经不够用了。
首先需要仔细分析多面体的结构，这个多面体就是1个六边形加上10个三角形构成的
接着根据凸包，把点和洞分成外圈和圈内2种位置
这里引入凸包的概念：凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边形
对于洞来说，如果洞的数量较大，就可以算出凸包的边数的范围，甚至确定凸包的边数
比如这里的第41关，因为有9个点和9个洞，所以凸包是确定的，就是六边形
对于点来说，凸包其实就是多面体的某一个面，也就是前面提到的剪开的那个面
比如这里的第41关，既然凸包确定是六边形，那么就只能把六边形剪开从而展开多面体，其他的3个点都必须放在六边形里面
这样，我们就知道了3个内点和6个外点，洞也分3个内洞和6个外洞
最后根据线的连接情况和洞的绝对位置，来确定该把哪个点放进哪个洞
比如这里的3个内点，度分别为4,5,6，虽然洞和洞之间无法判断是怎么相连的，但是根据洞的绝对位置可以推断出，
只有下面那个内洞可以对应度为6的内点
这样，我们就得到了唯一对应方案。
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这里又有了第二种特殊规则：黑点
黑点就是无法移动，除此之外和普通点一样
所以并没有什么难度
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黑点和洞同时出现，还是和前面说的方法一样，先变成没有交叉点的图再移动
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这一关出现了3个黑点，看似对我们的操作有一定的限制，实际上反而降低了难度。
首先把连接了2个黑点的点的大致位置摆正，然后把连接了1个黑点的点的位置都摆正，
使得此时黑点连出的线之间是没有交叉的，这个过程很容易。
最后以此为基础，把那些不与黑点相连的点的位置摆正即可，这个过程也很容易，不过需要注意的是，
如果有必要的话，与黑点相连的点也可以稍微调整位置。
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（70）
至此全部通关。□