《高等统计物理学》4：量子系综的实际问题

知乎链接：《高等统计物理学》4：量子系综的实际问题

上一篇文章《高等统计物理学》3：量子系综 从经典系综类比到量子系综，而量子系综作为高等统计物理中的一个重点，我们需要更进一步感受和理解它在实际当中的应用，本部分将从以下几点来一一复习。

三. 量子统计系综的实际问题

1. 计算密度算符

比如：设一个自由粒子处于边长 $L$L 的立方形容器中，试证明在坐标表象下的密度算符矩阵元为 $<r|\hat \rho|r'>=\frac{1}{V}e^{-m(r-r')^2/2\hbar^2\beta} ，$<r∣ρ^​∣r′>=V1​e−m(r−r′)2/2ℏ2β，以及哈密顿量的系综平均值为 $<\hat H>=\frac{3}{2}k_BT 。$<H^>=23​kB​T。

证明：在此之前，要会解薛定谔方程（参考《高等统计物理学》Cookbook（持续更新）），求出波函数和能级！这里首先给出粒子的本征函数$\varphi(x)=\frac{1}{L^{3/2}}e^{ikr} ，$φ(x)=L3/21​eikr，本征能量值为 $E_k=\frac{\hbar^2k^2}{2m} 。$Ek​=2mℏ2k2​。（待解决问题1:怎么算出的本征函数和本征能量值？）得到 $\hat \rho=\frac{1}{Z}e^{-\beta \hat H}=\sum_k|k>\frac{1}{Z}e^{-\beta \hat H} <k|=\sum_k|k>\frac{1}{Z}e^{-\beta E_k}<k| ，$ρ^​=Z1​e−βH^=k∑​∣k>Z1​e−βH^<k∣=k∑​∣k>Z1​e−βEk​<k∣，其中$|k>$∣k> 是 $\hat H$H^ 的本征矢。

先考虑坐标表象，设 $|r>$∣r> 是正交归一化的基矢，则 $\hat \rho$ρ^​ 的矩阵元是 $\begin{aligned} <r|\hat \rho|r'>&=\sum_k<r|k>\frac{1}{Z}e^{-\beta E_k}<k|r'>=\sum_k\varphi_k(r)\frac{1}{Z}e^{-\beta E_k}\varphi_k^*(r')\\ &=\sum_k\frac{1}{L^{3/2}}e^{ikr}\frac{1}{Z}e^{-\beta E_k}\frac{1}{L^{3/2}}e^{-ikr'}=\sum_k\frac{1}{ZL^{3}}e^{-\beta \hbar^2k^2/2m+ik(r-r')}\\ &=\frac{1}{(2\pi)^3Z}e^{-\int -\beta\hbar^2k^2/2m+ik(r-r')}dk=\frac{1}{Z}(\frac{m}{2 \pi \hbar^2 \beta})^{3/2}e^{-m(r-r')^2/2\hbar^2 \beta} \end{aligned}$<r∣ρ^​∣r′>​=k∑​<r∣k>Z1​e−βEk​<k∣r′>=k∑​φk​(r)Z1​e−βEk​φk∗​(r′)=k∑​L3/21​eikrZ1​e−βEk​L3/21​e−ikr′=k∑​ZL31​e−βℏ2k2/2m+ik(r−r′)=(2π)3Z1​e−∫−βℏ2k2/2m+ik(r−r′)dk=Z1​(2πℏ2βm​)3/2e−m(r−r′)2/2ℏ2β​ 其中 $Z=V(\frac{m}{2\pi \hbar^2 \beta})^{3/2}$Z=V(2πℏ2βm​)3/2，因此得$<r|\hat \rho|r'>=\frac{1}{V}e^{-m(r-r')^2/2\hbar^2\beta} 。$<r∣ρ^​∣r′>=V1​e−m(r−r′)2/2ℏ2β。（待解决问题2: 求和变换成积分，以及积分的求解是怎么算的？配分函数Z为什么等于这么多？）
$\begin{aligned} <\hat H>&=tr(\hat \rho \hat H)=tr(e^{-\beta \hat H}\hat H)=-\frac{\partial}{\partial \beta}[tr(e^{\beta \hat H})]=-\frac{\partial}{\partial \beta}\ln[tr(e^{\beta \hat H})]\\ &=-\frac{\partial}{\partial \beta}\ln Z=-\frac{\partial}{\partial \beta}\ln(V(\frac{m}{2\pi \hbar^2 \beta})^{3/2})=-\frac{\partial}{\partial \beta}\ln(V^{2/3}(\frac{m}{2\pi \hbar^2 \beta}))^{3/2}\\ &=\frac{3}{2}[-\frac{\partial}{\partial \beta}\ln(V^{2/3}\frac{m}{2\pi \hbar^2 \beta})]=\frac{3}{2\beta}=\frac{3}{2}k_BT \end{aligned}$<H^>​=tr(ρ^​H^)=tr(e−βH^H^)=−∂β∂​[tr(eβH^)]=−∂β∂​ln[tr(eβH^)]=−∂β∂​lnZ=−∂β∂​ln(V(2πℏ2βm​)3/2)=−∂β∂​ln(V2/3(2πℏ2βm​))3/2=23​[−∂β∂​ln(V2/32πℏ2βm​)]=2β3​=23​kB​T​ 值得注意的是，求偏导数和对数化的操作都放在了迹的外面，最后用一个配分函数进行代换即可。（待解决问题3: 有时间把PPT另外那道例题也做一下）

2. 计算系综平均值

【例子1】设$N$N个自由玻色子体系的哈密顿算符为 $\hat H=\varepsilon\hat b^\dagger \hat b$H^=εb^†b^，证明其粒子数的平均值为 $<\hat n>=<\hat b^\dagger \hat b>=\frac{1}{e^{\beta(\varepsilon-\mu)}-1} 。$<n^>=<b^†b^>=eβ(ε−μ)−11​。

证明如下：

【例子2】设N个自由费米子体系的哈密顿算符为 $\hat H=\varepsilon\hat a^\dagger \hat a ，$H^=εa^†a^，证明其粒子数的平均值为 $<\hat n>=<\hat a^\dagger \hat a>=\frac{1}{e^{\beta(\varepsilon-\mu)}+1} 。$<n^>=<a^†a^>=eβ(ε−μ)+11​。（已解决问题4:为什么玻色子体系用 $b^\dagger ，$b†，费米子体系用 $a^\dagger ，$a†，而且结果还不一样？ 这个符号无所谓，结果的不同是因为在计算配分函数求和时，一个满足泡利不相容原理，另一个不满足，因此结果不一样）

证明如下：

3. 简并性近理想玻色气体

首先我们要知道产生和消灭算符，可以参考《高等统计物理学》Cookbook（持续更新）（待解决问题4: 二次量子化的细节）。

（1）概念

近理想气体指密度很低，气体很稀薄，相互作用很弱的粒子系统，密度低，可以用微扰理论来处理。二次量子化是对量子力学的一种新的数学表述。普通的量子力学方法只能处理粒子数守恒的系统。但在相对论量子力学中，粒子可以产生和湮灭，普通量子力学的数学表述方法不再适用。

（2）N个自旋为零的玻色粒子系统

注意，此处讨论只涉及低温范围，量子效应很明显的情况。粒子间存在相互作用，哈密顿量为（此处的 $\frac{1}{2}$21​是为了去重） $\hat H=\sum_{i=1}^N \frac{p_i^2}{2m}+\frac{1}{2}\hat u(|r_i-r_j|)=\hat H_0+\hat H_i。$H^=i=1∑N​2mpi2​​+21​u^(∣ri​−rj​∣)=H^0​+H^i​。采用二次量子化的动量表象，上式写为 $\hat H_0=\sum_p \frac{p^2}{2m}\hat a_p^\dagger \hat a_p ， \hat H_i=\frac{1}{2}\sum_{p_1',p_2',p_1,p_2}<p_1',p_2'|\hat u|p_1,p_2>\hat a_{p_1 '}^\dagger \hat a_{p_2 '}^\dagger \hat a_{p_1 }\hat a_{p_2 }$H^0​=p∑​2mp2​a^p†​a^p​，H^i​=21​p1′​,p2′​,p1​,p2​∑​<p1′​,p2′​∣u^∣p1​,p2​>a^p1′​†​a^p2′​†​a^p1​​a^p2​​（式中 $\hat a_p^\dagger ,\hat a_p$a^p†​,a^p​ 分别为动量为$p$p的粒子的产生和湮灭算符， $<p_1',p_2'|\hat u|p_1,p_2>$<p1′​,p2′​∣u^∣p1​,p2​>是散射矩阵元）。

进而可以将系统的哈密顿量近似地写为 $\hat H=\hat H_0+\hat H_i=\sum_p \frac{p^2}{2m}\hat a_p^\dagger \hat a_p+\frac{u_0}{2V}\sum_{p_1',p_2',p_1,p_2}\hat a_{p_1 '}^\dagger \hat a_{p_2 '}^\dagger \hat a_{p_1 }\hat a_{p_2 } 。$H^=H^0​+H^i​=p∑​2mp2​a^p†​a^p​+2Vu0​​p1′​,p2′​,p1​,p2​∑​a^p1′​†​a^p2′​†​a^p1​​a^p2​​。此外，在精确至二级小量的情况下，哈密顿量可近似表示为 $\hat H=\sum_p \frac{p^2}{2m}\hat a_p^\dagger \hat a_p+\frac{N^2u_0}{2V}+\frac{Nu_0}{2V}\sum_{p\neq0}(\hat a_p^\dagger \hat a_{-p}^\dagger+\hat a_p \hat a_{-p}+2\hat a_p^\dagger \hat a_{p})$H^=p∑​2mp2​a^p†​a^p​+2VN2u0​​+2VNu0​​p​=0∑​(a^p†​a^−p†​+a^p​a^−p​+2a^p†​a^p​)为了使上式称为对角型的哈密顿量，现引入波戈留波夫变换，定义两个新的玻色算符，他们是 $\hat b_p^\dagger=u_p \hat a_p^\dagger-v_p\hat a_{-p},\hat b_p=u_p \hat a_p-v_p\hat a_{-p}^\dagger ，$b^p†​=up​a^p†​−vp​a^−p​,b^p​=up​a^p​−vp​a^−p†​，其逆变换为$\hat a_p^\dagger=u_p \hat b_p^\dagger+v_p \hat b_{-p}，\hat a_p=u_p\hat b_p+v_p \hat b_{-p}^\dagger ，$a^p†​=up​b^p†​+vp​b^−p​，a^p​=up​b^p​+vp​b^−p†​，证明如下：

最终可将哈密顿量写为 $\hat H=E_0+\sum_{p \neq0}\varepsilon(p)\hat b_p^\dagger\hat b_p=E_0+\sum_{p\neq0}\varepsilon(p)\hat n_p 。$H^=E0​+p​=0∑​ε(p)b^p†​b^p​=E0​+p​=0∑​ε(p)n^p​。其中 $E_0=\frac{1}{2}Nmu^2+\frac{1}{2}\sum_{p\neq0}{\varepsilon(p)-\frac{p^2}{2m}-mu^2+\frac{m^3u^4}{p^2}}，\varepsilon(p)=[u^2p^2+(\frac{p^2}{2m})^2]^{1/2}$E0​=21​Nmu2+21​p​=0∑​ε(p)−2mp2​−mu2+p2m3u4​，ε(p)=[u2p2+(2mp2​)2]1/2

小结

结束了这一部分的学习后，至少要做到：
（1）会计算密度算符，以“一个自由粒子处于边长 $L$L 的立方形容器中“为例，计算它的密度算符和哈密顿量的系综平均值；

（2）会计算系综平均值，上面的【例子1】和【例子2】；

（3）知道什么是近理想气体、二次量子化；

（4）知道二次量子化的动量表象下哈密顿量的写法；

（5）能够写出并证明波戈留波夫变换及其逆变换。

未完待更…

下一篇文章《高等统计物理学》5：非平衡态统计物理初步

参考资料
【1】 老师的授课PPT
【2】 《量子统计物理》（杨展如）