SVM模型就是用一个超平面H把正负样本分开的模型，如图1所示。
1、超平面的定义
假设w→是垂直超平面H的法向量，x−−→是一个负样本，x+−→是一个正样本，x−−→、x+−→在向量w→的投影点分别是A,B。所有的样本满足公式(1)。
w→||w→||∗x−−→⩽|OC|⩽w→||w→||∗x+−→(1)
即
w→||w→||∗x−−→−|OC|⩽0⩽w→||w→||∗x+−→−|OC|(2)
进一步可以转化为
w→∗x−−→+b⩽0⩽w→∗x+−→+b(3)
所以，当样本满足公式(4)时候,则判定为正样本，反之，是负样本。其中，公式(4)中满足等式的点落在超平面H中。
w→⋅x→+b⩾0(4)
图.1
2、训练样本满足的约束
由前面的分析可知，超平面H可以有无数条，然而，我们定义具有最大间隔的超平面才是最优的。如图.1所示，最大间隔指的是虚线H1与H2之间的距离。其中，H1,H,H2是平行的，并且H1到H的距离与H2到H的距离相等。由公式(4),并且向量w→可以伸缩，可得
{w→⋅x+−→+b⩾1w→⋅x−−→+b⩽−1(5)
即为了得到最优的分割超平面H，我们要求训练的正样本和负样本满足公式(5)，然后去求解最大的间隔。其中，落在虚线H1,H2的点使得公式(5)的等号成立，这些点称为
支持向量。假设样本点的标签值
y∈{+1,−1}。代入公式(5)，有
{y+i(w→⋅x+−→+b)⩾1y−i(w→⋅x−−→+b)⩾1(6)
公式(6)可以合并为通用的样本形式
yi(w→⋅x→+b)⩾1(7)
即所有的训练样本都满足公式(7)，其几何意义如图.1,所有的样本点都在虚线两侧，不允许跨过虚线。注意，预测样本的时候，是允许样本点跨越虚线区域的，因为判断的分界线是超平面H。
3、最大间隔的表示
如图.2所示，最大间隔等于正样本支持向量与负样本支持向量构成的向量x+−→−x−−→在法向量w→上的投影长度d。
投影长度d如公式(8)所示.
d=(x+−→−x−−→)⋅w→||w→||(8)
由于这里的
x+−→和x−−→是支持向量，满足公式(9)
yi(w→⋅x→+b)=1(9)
把公式(9)代入公式(8)，可得
d=2||w→||
即求解最大间隔表示如下:
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪max2||w→||s.tyi(w→⋅x→+b)−1=0
等价于求解
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪min12||w→||2s.tyi(w→⋅x→+b)−1=0
其中，s.t 代表约束条件.
