机器人学——1.5-奇异点及万向节锁

之前叙述的三旋转角度表示方式中，一个重要的问题是奇异点。当中间的绕旋转轴旋转到另外两个轴平行时，这个情况就会发生。对于万向节锁（因电影《阿波罗13号》而出名的术语），也存在同样的问题。

用于导航的机械陀螺仪如图所示。在其最核心的装配结构中有 $3$ 个相互正交的框架，它们能使安装于其中的稳定体相对于宇宙静止。陀螺仪通过这个万向节机构连接到飞船机体上，这样无论飞船做任何机动飞行，都不会给陀螺仪内部的稳定平台施加外力矩。通过测量这些万向框架的轴相对于稳定平台的转动角度，就可以确定飞船的航行姿态——直接显示出飞船的横滚-俯仰-偏航角，图示设计中是卡尔丹角的 $YZX$ 序列。（“登月舱坐标系是右手坐标系， $+X$ 轴朝上， $+Z$ 轴朝前， $+Y$ 轴指向右边。旋转变换矩阵由一个基于 $2-3-1$ 顺序的欧拉角构成，即：首先关于 $Y$ 轴倾斜，然后绕 $Z$ 轴滚动，最后关于 $X$ 轴俯仰。正旋转分别是上倾，右滚，左偏）

现在考虑陀螺仪中间万向架旋转角（相对于飞船的z轴旋转）为 $90°$ 时的情况。这时陀螺仪的内万向架与外万向架的轴对齐，它们的旋转轴线重合。因为这两个旋转轴平行，这时陀螺仪只有两个有效的旋转轴，而不是原来的三个——我们称之为丢失了一个自由度。
机器人学——1.5-奇异点及万向节锁
从数学（而非机械）上看，这个问题可以通过建立一种登月舱坐标系来解释，其中固联在飞船机体上的坐标系 $\{B\}$ 相对于固联在稳定平台上的坐标系 $\{S\}$ 做旋转，并且可以表示为
$^SR_B=R_y(\theta_p)R_z(\theta_r)R_x(\theta_y)$

旋转须服从循环旋转规则：
$R_X(\pi/2)R_Y(\theta)R_X(\pi/2)^T \equiv R_Z(\theta)$ $R_Y(\pi/2)R_Z(\theta)R_Y(\pi/2)^T \equiv R_X(\theta)$ $R_Z(\pi/2)R_X(\theta)R_Z(\pi/2)^T \equiv R_Y(\theta)$ 以及反循环旋转规则：
$R_Y(\pi/2)^TR_X(\theta)R_Y(\pi/2) \equiv R_Z(\theta)$ $R_Z(\pi/2)^TR_Y(\theta)R_Z(\pi/2) \equiv R_X(\theta)$

当 $\theta_r=\pi/2$ 时，可以应用循环旋转规则得到下面的恒等式：
$R_y(\theta)R_z(\frac{\pi}{2}) = R_z(\frac{\pi}{2})R_x(\theta)$ 进而得到
$^SR_B= R_z(\frac{\pi}{2})R_x(\theta_p)R_x(\theta_y)=R_z(\frac{\pi}{2})R_x(\theta_p+\theta_y)$ 上式中没有表示出飞船绕 $y$ 轴的旋转。这就带来了问题，因为航天器绕 $y$ 轴的旋转将使稳定平台也旋转，从而破坏其相对于恒星的精确对准。

一个自由度的缺失意味着在数学上我们不能反变换（相当于被降维打击了），我们只能建立两个角度之间的线性关系。在这种情况下，我们最多也只能确定俯仰角和偏航角的总和。前面我们用欧拉角的奇异点也看到了类似的现象。

所有三角度形式的姿态表示，无论欧拉式或卡尔丹式，当两连续轴共线时都会遇到万向节锁同样的问题。对于 $ZYZ$ 形式的欧拉角，它发生在 $\theta=k\pi, k\in\mathbb{Z}$ 时，对于用横滚-俯仰-偏航角的情况，会发生在 $\theta= \pm(2k+1)\pi/2$ 时。虽然都存在奇异点，但我们可以想办法让奇异点不在航行体正常运行时出现，这需要明智地选择角度序列和坐标系。

奇异点是采用最简化方法带来的一个不幸后果。为了消除这个问题，我们必须采取其他的姿态描述方法。其中，阿波罗登月舱团队的人提出一种用四个万向支架的系统，其成功的关键是引进了第四个参数,我们之后会讨论相关的四元数的内容。

机器人学——1.5-奇异点及万向节锁

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