数学基础-熵及其在机器学习中的应用

熵

熵是用来衡量变量不确定性的指标，变量的不确定性越大，熵也就越大，把它搞清楚所需要的信息量就越大，用样本的分布衡量平均编码长度。熵的表达式为 H(p)=−∑p(i)∗logp(i)$H(p)=-\sum p(i)\ast \log p(i)$，例如盒子里有4个颜色的求，每个球的概率是14$\frac{1}{4}$，那么需要的平均编码长度为2。从下图中可以看出一件事我们越难猜测是否会发生，它的信息熵就越大

交叉熵

交叉熵是用分布q来表示分布p的平均编码长度，表达式是：H(p,q)=∑ip(i)∗log1q(i)$H(p,q)=\sum _i^{}p(i)\ast \log \frac{1}{q(i)}$， H(p,q)>=H(p)$H(p,q)>=H(p)$ 恒成立，当q与p同分布时取等号。交叉熵是神经网络、深度学习模型的损失函数，最小化交叉熵使模型预测的输出与标记同分布。
交叉熵在机器学习中的使用-损失函数

相对熵

相对熵又被称为KL散度(Kullback–Leibler divergence，KLD) ，表示2个函数或概率分布的差异性，差异越大则相对熵越大，差异越小则相对熵越小，其表达式为H(p,q)−H(p)=∑ip(i)∗logp(i)q(i)$H(p,q)-H(p)=\sum _i^{}p(i)\ast \log \frac{p(i)}{q(i)}$

联合熵

联合熵表示（X,Y）在一起时的不确定性度量，表达式为 H(X,Y)=−∑p(x,y)∗logp(x,y)$H(X,Y)=-\sum p(x,y)\ast \log p(x,y)$

条件熵

条件熵是X确定时，Y的不确定性度量，表达式为
H(X,Y)−H(X)=−∑p(x)∗p(y/x)∗logp(y/x)=−∑p(x,y)∗logp(y/x)$H(X,Y)-H(X)=-\sum p(x)\ast p(y/x)\ast \log p(y/x)=-\sum p(x,y)\ast \log p(y/x)$

条件熵为最大熵模型的损失函数，即对数似然函数
通俗理解条件熵

信息增益

特征X对Y的信息增益表达式如下，决策树学习运用信息增益选择特征，表示给定特征X，Y的不确定性减少的程度，信息增益大的特征具有良好的分类能力。从根节点开始，计算所有特征的信息增益，选择信息增益大的特征做为叶节点。
g(Y,X)=H(Y)−H(Y/X)$g(Y,X)=H(Y)-H(Y/X)$

详细说明参考 如何通俗的解释交叉熵与相对熵?

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