一、 MCMC抽样

也许读者会觉得诧异，为什么在一本介绍主题模型的书中却看到了抽样的知识？作者是不是偏题了？

答案当然是没有。

相信你应该听说过有一门课程叫做统计学，在这门课程中，抽样占据着举足轻重的地位。当统计学的研究者们想要了解一个总体的某些参数时，他们的方案是，先去抽样获得样本，通过样本参数去估计总体参数。比如，想知道某财经高校学生们（总体）的平均月消费水平（总体参数），做法是：a.先抽样一部分样本，如从每个学院抽取20个人去调查他们的月消费水平，假设有20个学院，那么就获得了400个人（样本）的月消费水平；b.算出这400个样本的平均月消费水平（样本参数）；c.可以认为该财经高校学生们的平均月消费水平估计为这400个样本的平均月消费水平。

本篇的MCMC抽样与LDA主题模型的关系类比统计学里的抽样。在LDA主题模型的参数求解中，我们会使用MCMC抽样去做。

MCMC四个字母的含义

第一个MC ，是Monte Carlo(蒙特卡洛)的首字母缩写。本篇的蒙特卡洛指一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。采样过程通常通过计算机来来实现。

蒙特卡洛此名由乌拉姆提出，事实上蒙特卡洛是摩纳哥公国的一座城市，是著名的赌场，世人称之为“**之国”。众人皆知，**总是和统计密切关联的，所以这个命名风趣而贴切、不仅有意思而且有意义。

第二个MC：Markov Chain(马尔科夫链)。这是MCMC抽样中很重要的一个思想，将会在后篇细讲。

（一）逆变换采样

刚刚有提到，蒙特卡洛指一种随机模拟方法，通常通过计算机来实现。然而，从本质上来说，计算机只能实现对均匀分布的采样。在此基础上对更为复杂的分布进行采样，应该怎么做呢？这就需要用到逆变换采样：

温故两个定义

对于随机变量 X，如下定义的函数 F：

称为X 的累积分布函数。对于连续型随机变量 X 的累积分布函数 F(x)，如果存在一个定义在实数轴上的非负函数 f(x)，使得对于任意实数 x，有下式成立：

则称 f(x) 为 X 的概率密度函数。显然，当概率密度函数存在的时候，累积分布函数是概率密度函数的积分。概率等于区间乘概率密度。

步骤

欲对密度函数f（x）$f（x）$采样，并得到m 个观察值，则重复下面的步骤 m 次：

1、从Uniform(0,1)中随机生成一个值，用 u 表示。

2、计算反函数F(−1)(u)$F^{(-1)}(u)$的值 x，则x 就是从f(x)$f(x)$中得出的一个采样点。

举例：

想对一个复杂概率密度函数f(x)$f(x)$抽样，其概率密度形式如下：

1、求f(x)$f(x)$的累计分布函数F(x)$F(x)$：

2、求F(x)$F(x)$的反函数：F(−1)(u)$F^{(-1)}(u)$

重复m次逆变换采样以下步骤：从Uniform(0,1)中随机生成一个值，用 u 表示。计算反函数F(−1)(u)$F^{(-1)}(u)$的值 x，则x 就是从f(x)$f(x)$中得出的一个采样点。最终将采样点图像（蓝色）与实际密度函数（红色）比较，得图如下：

（二）拒绝采样

欲对逆变换采样不再适用的密度函数p(x)$p(x)$采样，如果能找到另外一个概率密度为 q(x)$q(x)$的函数，它相对容易采样。如采用逆变换采样方法可以很容易对q(x)$q(x)$进行采样，甚至q(x)$q(x)$就是计算机可以直接模拟的均匀分布。此时我们可直接对q(x)$q(x)$采样，然后按照一定的方法拒绝某些样本，达到接近p(x)$p(x)$分布的目的。

步骤

举例：利用拒绝采样计算π$\pi$值

（三）马尔科夫链

马尔科夫链就是第二个MC:Markov Chain。定义为：根据概率分布，可以从一个状态转移到另一个状态，但是状态转移之间服从马氏性的一种分布。

解释一下定义中提到的两个名词：

马氏性：状态转移的概率只依赖与他的前一状态。数学表达为:P(Xn+1=k|Xn=kn,Xn−1=kn−1,…,X1=k1)=P(Xn+1=k|Xn=kn)$P(Xn+1=k|Xn=kn,Xn-1=kn-1,\dots ,X1=k1)=P(Xn+1=k|Xn=kn)$
状态转移：状态的改变叫做转移(状态可以向自身转移），与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。q(i,j)=q(j|i)=q(i→j)：$q(i,j)=q(j|i)=q(i\to j)：$表示状态 i转移到状态j的概率。

如在天气事件中，由前天的下雨转移到昨天的多云，昨天的多云转变到今天的艳阳天。这里所说的下雨、多云、艳阳天都是一种状态。从下雨转移到多云，称之为状态转移。而今天的艳阳天只与昨天的多云有关，与前天的天气没有半点关系，这就是所谓马氏性。

案例

社会学家经常把人按其经济状况分成三类：下、中、上层；我们用1,2,3分别代表这三个阶层（对应于马氏链中环境下的三个状态）。如果一个人的收入属于下层类别，则他的孩属于下层收入的概率是0.665，属于中层的概率是0.28，属于上层的概率是0.07。这里汇总了阶层收入变化的转移概率如下图所示：

给定初始概率π0=(0.21,0.68,0.11)${\pi }_0=(0.21,0.68,0.11)$，即第0代的时候各阶层占比是(0.21,0.68,0.11)。显然由此公式我们可以分别计算第一代的第1、2、3阶层的占比，第二代的第1、2、3阶层的占比，….。

如：计算第一代的第1阶层的占比为：0.21∗.65+0.68∗0.15+0.11∗0.12=0.2517≈0.252$0.21\ast .65+0.68\ast 0.15+0.11\ast 0.12=0.2517\approx 0.252$

以此类推，各代各阶层的占比如下：

也就是说，当n足够大的时候，Pn$P^n$矩阵每一行都收敛到π=(0.286,0.489,0.225)$\pi =(0.286,0.489,0.225)$这个概率分布。于是关于马氏链我们有定理如下：
定理一：（马氏链的平稳分布）
如果一个非周期马氏链具有概率转移矩阵 P，且它的任何两个状态都是连通的，则
存在且与 i 无关（也即矩阵 P^n 的每一行元素都相同），记，我们有：
（1）
（2）π(j)=∑∞0π(i)Pij也即π=πP。$\pi (j)={\sum }_0^{\infty }\pi (i)P^{ij}也即\pi =\pi P。$
（3）π 是方程 π=πP 的唯一非负解。
其中，π=[π(1),π(2),⋯,π(j),⋯]，∑∞0π(i)=1$\pi =[\pi (1),\pi (2),\cdots ,\pi (j),\cdots ]，{\sum }_0^{\infty }\pi (i)=1$（符合概率上对分布的要求），π 称为马氏链的平稳分布。

定理二（细致平稳条件）
如果非周期马氏链的转移矩阵P和分布π(x)满足：π(i)Pij=π(j)Pji，则π(x)是马氏链的平稳分布，上式被称为细致平稳条件。$P和分布\pi (x)满足：\pi (i)P^{i}j=\pi (j)P^{j}i，则\pi (x)是马氏链的平稳分布，上式被称为细致平稳条件。$
以上两个定理极其重要，是MCMC理论不可缺少的理论基础。

（四）从马尔科夫链到抽样

对于给定的概率分布π(x)$\pi (x)$，我们希望有快捷的方式生成它对应的样本。由于马氏链能收敛到平稳分布，于是一个很漂亮的想法是：如果我们能够构造一个转移矩阵为 P的马氏链，使得该马氏链的平稳分布恰好是 π(x)$\pi (x)$，那么我们从任何一个初始状态出发沿着马氏链转移，得到一个转移序列x1,x2,…,xn,x(n+1),…，$x_1,x_2,\dots ,x_n,x_{(}n+1),\dots ，$如果马氏链在第 n 步已经收敛了，于是x1,x2,…,xn,x(n+1),…$x_1,x_2,\dots ,x_n,x_{(}n+1),\dots$自然是分布π(x)$\pi (x)$的样本。
马氏链的收敛性质主要有转移矩阵 P决定，所以基于马氏链做采样（比如MCMC）
的关键问题是如何构造转移矩阵，使得其对应的平稳分布恰是我们需要的分布 π(x)$\pi (x)$。

MCMC采样

根据细致平稳理论，只要我们找到了可以使概率分布π(x)$\pi (x)$满足细致平稳分布的矩阵P即可。这给了我们寻找从平稳分布π, 找到对应的马尔科夫链状态转移矩P的新思路。
假设我们已经有一个转移矩阵为Q的马氏链。q(i,j)$q(i,j)$表示状态 i转移到状态j的概率.通常情况下，细致平稳条件不成立，即：

对上式改造使细致平稳条件成立：引入一个α(i,j)和α(j,i) ，并让等式两端取等：

问题是什么样的α(i,j)和α(j,i)可以使等式成立呢？按照对称性，可以取：


所以我们改造后的马氏链Q′$Q^{\prime }$如下。并且Q′$Q^{\prime }$恰好满足细致平稳条件，所以马氏链Q′$Q^{\prime }$的平稳分布就是P(x)$P(x)$。

（五）Metropolis-Hastings采样

以上过程不论是离散或是连续分布，都适用。
以上的MCMC采样算法已经能正常采样了，但是马氏链Q在转移的过程中的接受率α(i,j)可能偏小，这样我们会拒绝大量的跳转，这使得收敛到平稳分布的速度太慢。有没有办法提升接受率呢？
我们回到MCMC采样的细致平稳条件：

我们采样效率低的原因是α(i,j)α(i,j)$\alpha (i,j)\alpha (i,j)$太小了，比如为α(j,i)为0.1，而α(j,i)$\alpha (j,i)为0.1，而\alpha (j,i)$为0.2。即：

这时我们可以看到，如果两边同时扩大五倍，接受率提高到了0.5，但是细致平稳条件却仍然是满足的，即：

这样我们的接受率可以做如下改进，即：

此时便得到了常见的Metropolis−Hastings$Metropolis-Hastings$采样算法。
步骤
（1）初始化马氏链初始状态X0=x0$X_0=x_0$
（2）对t=0,1,2,3,…$t=0,1,2,3,\dots$循环一下过程进行采样：
第t时刻马氏链状态为Xt=xt$X_t=x_t$，采样y∼q(x|x(t))$y\sim q(x|x_{(}t))$；
从均匀分布采样u∼Uniform[0,1]；$u\sim Uniform[0,1]；$
如果u<α(xt,y)=min{p(j)q(j│i)p(i)p(i│j),1}$u<\alpha (x_t,y)=min\{\frac{p(j)q(j│i)}{p(i)p(i│j)},1\}$,则接受 xt→y$x_t\to y$,即xt+1→y$x_{t+1}\to y$；否则不接受概率转移，即Xt+1=xt。$X_{t+1}=x_t。$
以上M-H算法只针对低维的情况，对于高维情况，我们采用Gibbs采样。

（六）Gibbs采样

对于高维情况，我们采用Gibbs采样。
以二维为例，假设p(x,y)$p(x,y)$是一个二维联合数据分布，考察x坐标相同的两个点A(x1,y1)和B(x1,y2)$A(x1,y1)和B(x1,y2)$，容易发现下面两式成立：

所以得到：
即：
观察上式再观察细致平稳条件的公式，我们发现在x=x1$x=x1$这条直线上，如果用条件概率分布p(y|x1)$p(y|x1)$作为马尔科夫链的状态转移概率，则任意两个点之间的转移满足细致平稳条件！
同样,y=y1$,y=y1$这条直线上，取两点A(x1,y1),C(x2,y1)$A(x1,y1),C(x2,y1)$也有如下等式：

基于上面的发现，我们可以构造平面上两点之间的转移概率矩阵Q：

有了上面这个状态转移矩阵，我们很容易验证平面上的两点X,Y，满足细致平稳条件。

于是这个二维空间上的马氏链收敛到平稳分布p(x,y).$p(x,y).$于是可以得到二维Gibbs采样的步骤：
随机初始化X0=x0，Y0=y0$X_0=x_0，Y_0=y_0$
对t=0,1,2,‘‘‘‘$t=0,1,2,‘‘‘‘$循环采样：
y(t+1)∼p(y|xt);$y_{(}t+1)\sim p(y|x_t);$
x(t+1)∼p(x|y(t+1));$x_{(}t+1)\sim p(x|y_{(}t+1));$
以上采样，马氏链的转移只是轮换的沿着坐标轴x轴和y轴做转移，于是得到样本(x0,y0),(x0,y1),(x1,y1),(x1,y2),(x2,y2),…，$(x_0,y_0),(x_0,y_1),(x_1,y_1),(x_1,y_2),(x_2,y_2),\dots ，$马氏链收敛以后得到的样本就是P(x,y)的样本了。但其实坐标轴轮换不是强制要求的最一般的情形可以是，在t时刻，可以在x轴和y轴之间随机的选一个坐标轴，然后按条件概率转移，马氏链一样可以收敛。轮换两个坐标轴只是一种简便形式。
以上二维推广到高维的情形，即x1变到多维x1$x_1变到多维x_1$，推导过程不变，细致平稳条件依然成立：
p(x1,y1)p(y2│x1)=p(x1,y2)p(y1│x1)$p(x_1,y_1)p(y_2│x_1)=p(x_1,y_2)p(y_1│x_1)$
此时转移矩阵Q由条件分布p(y│x1)$p(y│x_1)$定义。

Gibbs采样步骤
（1）随机初始化{x_i:i=1,…,n}
（2）对t=0,1,2,….循环采样：

二、主题模型与MCMC采样

回顾一下主题模型步骤：
0、 首先随机地给每个词分配一个主题，之后按以下1、2步骤更新主题；
求某一个词wi$w_i$对应主题特征z_i的条件概率分布p(zi=k|w⃗ ,z⃗ −i)$p(z_i=k|\overrightarrow{w},{\overrightarrow{z}}_{-i})$。其中，z⃗ −i${\overrightarrow{z}}_{-i}$代表去掉下标为i的词后的主题分布。
条件概率分布p(zi=k|w⃗ ,z⃗ −i)$p(z_i=k|\overrightarrow{w},{\overrightarrow{z}}_{-i})$，我们就可以进行Gibbs采样，最终在Gibbs采样收敛后得到第i个词的主题。
采样得到了所有词的主题,那么通过统计所有词的主题计数，就可以得到各个主题的词分布。
接着统计各个文档对应词的主题计数，就可以得到各个文档的主题分布。
在上一节介绍LDA主题模型的时候得到了生成整个语料库的联合分布概率。我们知道，在概率论中，如果得到了联合分布，则能很轻易地得到条件分布、边缘分布。那么今天我们就由联合分布
去求条件分布p(zi=k|w⃗ ,z⃗ −i)$p(z_i=k|\overrightarrow{w},{\overrightarrow{z}}_{-i})$
求解条件分布p(zi=k|w⃗ ,z⃗ −i)$p(z_i=k|\overrightarrow{w},{\overrightarrow{z}}_{-i})$

对于下标i,由于它对应的词wi是可以观察到的，所以， p(zi=k|w⃗ ,z⃗ −i)∝p(zi=k,wi=t|w⃗ −i,z⃗ −i)$p(z_i=k|\overrightarrow{w},{\overrightarrow{z}}_{-i})\propto p(z_i=k,w_i=t|{\overrightarrow{w}}_{-i},{\overrightarrow{z}}_{-i})$，对于zi=k,wi=t,$z_i=k,w_i=t,$它只涉及到第d篇文档和第k个主题两个Dirichlet-multi共轭，即：

于是有：

再由Dirichlet期望公式可得：

有了这个公式，我们就可以用Gibbs采样去采样所有词的主题，当Gibbs采样收敛后，即得到所有词的采样主题。采样得到了所有词的主题,那么通过统计所有词的主题计数，就可以得到各个主题的词分布。接着统计各个文档对应词的主题计数，就可以得到各个文档的主题分布。
应用于LDA的Gibbs采样算法流程：
1)选择合适的主题数K, 选择合适的超参数向量α,η
2） 对应语料库中每一篇文档的每一个词，随机的赋予一个主题编号z
3) 重新扫描语料库，对于每一个词，利用Gibbs采样公式更新它的topic编号，并更新语料库中该词的编号。
4） 重复第2步的基于坐标轴轮换的Gibbs采样，直到Gibbs采样收敛。
5） 统计语料库中的各个文档各个词的主题，得到文档主题分布θ_d，统计语料库中各个主题词的分布，得到LDA的主题与词的分布β_k。

参考文献：

博客：http://blog.****.net/u010159842/article/details/48637095
https://www.cnblogs.com/pinard/p/6867828.html
http://blog.****.net/baimafujinji/article/details/51407703
《LDA数学八卦》