第五章神经网络

5.1 神经元模型

定义：神经网络是具有自适应性的简单单元所组成的广泛并行连接的网络，它的组织能够模拟生物神经系统对真实世界物体所做出的交互反应
与机器学习交叉的领域称为神经网络学习
神经网络最基本的成分为神经元模型，即上面说的简单单元。

5.2 感知机与多层网络

感知机（Perception）由两层神经元组成，输入层接收外界信号传递给输出层，然后输出层将输入层传递来的带有权重的信号与阈值进行比较，然后通过**函数处理产生神经元的输出。（这样的输出层也可称为M-P神经元）。但由于感知机只拥有一层功能神经元，所以其学习能力非常有限，若问题本身就是线性可分那还好，感知机学习一定会收敛，若不是的话，感知机学习会发生震荡，甚至无法分类。
所以对于非线性可分问题，引入多层功能神经元，利用输入层和输出层之间的隐层增强神经网络的学习能力。

更一般的，若每层神经元与下一层神经元全互连，且神经元之间不存在同层连接，也不存在跨层连接，这样的神经网络结构通常被称为多层前馈神经网络（multi-layer feedforward neutral networks）。（前馈：不是说网络只向前单向传播，而是指网络拓扑结构不存在环或回路。）
在神经网络里，通常输入层并不做函数处理，隐层和输出层才包括功能单位元，按照隐层和输出层的数量和n，称其为“n层网络”，仅就隐层数量k，称其为“k隐层网络”。

小结：实际上，神经网络的学习过程就是一个不断调整神经元之间的“连接权”每个神经元的阈值的过程。

5.3 误差逆传播算法（BackPropagation，BP）

一般来说，BP网络就是指BP算法训练的多层前馈神经网络，当然实际上，BP算法还可用于训练其他类型的神经网络，如递归神经网络等。
BP算法是基于梯度下降法和感知机规则之上的一种算法，在学习之前，我们先学习一下梯度下降法。

5.3.1梯度下降法（Gradient descent）

该方法是一种常用的一阶优化方法，具体是指在无约束优化问题 $min_xf(x^t)$ ，其中 $f(x)$ 连续可微。若能构造一个序列 $x^0,x^1,x^2,...$ 满足：
$f(x^{t+1})<f(x^t),\ t=0,1,2,...$
则不断执行该过程可收敛到局部极小点，根据泰勒展开式：
$f(x+△x)\approx f(x)+△x^T\nabla f(x)$
那么为了满足 $f(x+△x)<f(x)$ ，可选择：
$△x=-\gamma\nabla f(x)$
其中步长 $\gamma$ 是一个小常数，这就是梯度下降法。
注：步长的选择往往来自于 $f(x)$ 自身的一些条件或特点。
若 $f(x)$ 二阶连续可微。可对 $f(x)$ 二阶泰勒展开，这就得到了牛顿法。其迭代轮数小于梯度下降法，但牛顿法涉及到 $\nabla ^2f(x)$ ，所以其每轮迭代都涉及到海森矩阵求逆，在高维中几乎不可行。那么在引入拟牛顿法寻找海森矩阵的近似逆矩阵。
BP算法：
Chapter5 Neural Network
综上：
$\triangle w_{hj}=\eta g_jb_h\\ 类似得到：\triangle\theta_j=\eta g_j\\ \triangle v_{ih}=\eta e_hx_i\\ \triangle \gamma_h=-\eta e_h$
其中：
$e_h=-\frac{\partial E_k}{\partial b_h}\frac{\partial b_h}{\partial \alpha_h}\\ =b_h(1-b_h)\sum_{j=1}^lw_{hj}g_j\\ \eta\in(0,1)(通常设置为0.1)$

注：BP算法的目标是要最小化训练集D上的累积误差（ $E=\frac{1}{m}\sum_{k=1}^mE_k$ ），但上述介绍的标准BP算法每次仅针对一个训练样例更新连接权和阈值，类似推导出基于累计误差最小化的更新规则，就得到了累积误差逆传播（Accumulated error backpropagation）。但累积误差下降到一定程度后下降速度会变很慢，这时候再用回标准BP往往更快。
BP神经网络的强大，使其常常遭受过拟合的危险，有两种方法解决这个问题：1）早停：当训练集误差降低但验证集误差提高时停止学习。2）正则化：在误差目标函数中增加一个用于描述网络复杂度的部分，例如，将误差目标函数改为 $E=\lambda\frac{1}{m}\sum_{k=1}^mE_k+(1-\lambda)\sum_iw_i^2$ ,其中 $\lambda \in(0,1)$ 用于对经验误差与网络复杂度这两项进行折中。

5.4 全局最小与局部最小

我们往往用 $E(w^*,\theta^*)$ 表示误差函数的局部最小值或全局最小值。
当我们寻找的参数不只一个局部极小，那么参数寻优往往就会陷入局部最小，这显然不是我们希望的，为此，人们想出方法跳出局部最小：

从多个不同的参数值初始点出发再取误差最小的神经网络
模拟退火技术：每一步都以一定概率接受比当前解更差的结果
使用随机梯度下降instead of标准梯度下降。（即使到局部最小，梯度依然不为0，还可以继续搜索）
此外还有遗传算法，也可以更好地逼近全局最小。值得说明的是上述方法仍是启发式的，理论上缺乏保证。

5.5 其他常见神经网络

5.5.1RBF网络（径向基函数网络）

是一种单隐层前馈神经网络，以径向基函数作为隐层神经元的**函数。径向基函数：
$\rho(\bf x,\bf c_i)=e^{-\beta_i||\bf x-\bf c_i||^2}$
即输出层实值表示为 $\varphi(\bf x)=\sum_{i=1}^qw_i\rho(\bf x,\bf c_i)$ ,其中q为隐层神经元个数， $c_i$ 与 $w_i$ 分别是第i个隐层神经元所对应的中心和权重。

5.5.2ART网络(自适应谐振理论网络)

Winner-take-all! Unsupervised learning！
该网络由比较层，识别层，识别阈值和重置模块构成。比较层接受输入样本并传递给识别层，识别层神经元之间相互竞争（比较向量与神经元代表模式类的代表向量之间的距离，小距离获胜），以产生获胜神经元。
ART网络较好的缓解了可塑性-稳定性窘境，可进行增量学习或在线学习。

5.5.3 SOM网络（自组织映射网络）

5.5.4 级联相关网络

5.5.5 Elman网络

5.5.6 Boltzmann机

5.6 深度学习

典型的深度学习就是很深层的神经网络，但注意，多隐层神经网络往往难以用标准BP算法进行训练，因为在多隐层逆传播时往往会“发散”，而不能收敛。
无监督逐层训练：每次训练一层隐结点，这称为预训练，在预训练全部完成后在对整个网络进行微调训练。
权共享，是CNN里面运动到的一个重要的方法。

Chapter5 Neural Network

第五章 神经网络