阵列信号DOA估计系列(二).导向矢量

在DOA估计里面，经常会看到导向矢量这个名词，也有的地方叫方向矢量，方向矩阵，基本上都是array steering vector 的翻译。

本文首先对均匀线阵（ULA，uniform linear array）的导向矢量做一个推导说明，然后介绍一个最基本的DOA估计方法——空间FFT。

1.导向矢量

在上一篇文章中（ 阵列信号DOA估计系列(一).概述.），已经对空间相位差做出了详细说明，下面在空间相位差的基础上，引出均匀线阵的导向矢量。

依然来看这样一个阵列：在一条直线上，均匀排布着 $M$M 个阵元
假设远场信号为 $s(t)$s(t),阵列以第一个阵元（上图编号为0）为参考，则整个阵列接收到的信号为$\mathbf{x}(n) = [s(t),s(t)e^{-j2\pi f_0\frac{dsin(\theta)}{c}},s(t)e^{-j2\pi f_0\frac{2dsin(\theta)}{c}},s(t)e^{-j2\pi f_0\frac{3dsin(\theta)}{c}},\cdots,s(t)e^{-j2\pi f_0\frac{(M-1)dsin(\theta)}{c}}]$x(n)=[s(t),s(t)e−j2πf0​cdsin(θ)​,s(t)e−j2πf0​c2dsin(θ)​,s(t)e−j2πf0​c3dsin(θ)​,⋯,s(t)e−j2πf0​c(M−1)dsin(θ)​]稍作变形，即可得到$\mathbf{x}(n) = [1,e^{-j2\pi f_0\frac{dsin(\theta)}{c}},e^{-j2\pi f_0\frac{2dsin(\theta)}{c}},e^{-j2\pi f_0\frac{3dsin(\theta)}{c}},\cdots,e^{-j2\pi f_0\frac{(M-1)dsin(\theta)}{c}}]s(n)$x(n)=[1,e−j2πf0​cdsin(θ)​,e−j2πf0​c2dsin(θ)​,e−j2πf0​c3dsin(θ)​,⋯,e−j2πf0​c(M−1)dsin(θ)​]s(n)
可以看到，接收到的信号向量$\mathbf{x}(n)$x(n)是一个向量 $[1,e^{-j2\pi f_0\frac{dsin(\theta)}{c}},e^{-j2\pi f_0\frac{2dsin(\theta)}{c}},\cdots,e^{-j2\pi f_0\frac{(M-1)dsin(\theta)}{c}}]$[1,e−j2πf0​cdsin(θ)​,e−j2πf0​c2dsin(θ)​,⋯,e−j2πf0​c(M−1)dsin(θ)​] 乘以一个标量 $s(n)$s(n)，且此向量是信号来波方向 $\theta$θ 的函数。

做如下定义：$\mathbf{a(\theta)}\triangleq[1,e^{-j2\pi f_0\frac{dsin(\theta)}{c}},e^{-j2\pi f_0\frac{2dsin(\theta)}{c}},\cdots,e^{-j2\pi f_0\frac{(M-1)dsin(\theta)}{c}}]$a(θ)≜[1,e−j2πf0​cdsin(θ)​,e−j2πf0​c2dsin(θ)​,⋯,e−j2πf0​c(M−1)dsin(θ)​]
于是，接收到的信号可以表示为$\mathbf{x}(n) = \mathbf{a(\theta)}s(n)$x(n)=a(θ)s(n)可见，向量 $\mathbf{a(\theta)}$a(θ) 将 阵列信号DOA估计系列(一).概述 所述空间相位查全部包含在内，即包含了信号 $s(n)$s(n) 的角度信息。这就是我们常说的导向矢量。

这里，可以看到以下几点信息：

1. 导向矢量的本质是描述空间相位差的；
2. 导向矢量的结构，和阵元之间的相对位置有关系。上面所写的导向矢量是Vandermonde结构，这是ULA的特点。对于其他几何形状的阵列，导向矢量的结构将会有所不同；
3. 导向矢量的值，是来波方向的函数，若方向 $\theta$θ 不同，则导向矢量的值会有所不同;
4. 对于同一方向（如$30\degree$30°），若选取的参考点不同，那么导向矢量的值也会不同。但是阵元之间的相对相位查不会变化。
   图中,当信号方向如图所示时，若选取第一个阵元为参考点，导向矢量为$\mathbf{a(\theta)}=[1,e^{-j2\pi f_0\frac{dsin(\theta)}{c}},e^{-j2\pi f_0\frac{2dsin(\theta)}{c}},\cdots,e^{-j2\pi f_0\frac{(M-1)dsin(\theta)}{c}}]$a(θ)=[1,e−j2πf0​cdsin(θ)​,e−j2πf0​c2dsin(θ)​,⋯,e−j2πf0​c(M−1)dsin(θ)​]若选取最后一个阵元为参考点时，导向矢量为$\mathbf{a(\theta)}=[e^{j2\pi f_0\frac{(M-1)dsin(\theta)}{c}},e^{j2\pi f_0\frac{(M-2)dsin(\theta)}{c}},\cdots,e^{j2\pi f_0\frac{2dsin(\theta)}{c}},e^{j\pi f_0\frac{2dsin(\theta)}{c}},1]$a(θ)=[ej2πf0​c(M−1)dsin(θ)​,ej2πf0​c(M−2)dsin(θ)​,⋯,ej2πf0​c2dsin(θ)​,ejπf0​c2dsin(θ)​,1]要理解其中的差别，首先要抓住导向矢量的本质：描述空间相位差。

2.接收信号的矩阵表示

为方便描述，后面的文章中，均以第一个阵元为参考，并把导向矢量和接收信号写为列向量。
同时，为帮助读者理解，本节的向量和矩阵均标注了维数

当有一个信号 $s(n)$s(n) 从 $\theta$θ 方向入射到阵列时，接收信号可以表述为
$\mathbf{x}(n) _{_{M\times 1}}= \mathbf{a(\theta)_{_{M\times 1}}}s(n)$x(n)M×1​​=a(θ)M×1​​s(n)

当有 $N$N 个信号 $s_{_1}(n),s_{_2}(n),\cdots,s_{_N}(n)$s1​​(n),s2​​(n),⋯,sN​​(n) 分别从 $\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_N$θ1​,θ2​,⋯,θN​ 入射到阵列时，按照叠加的思维，收信号可以表述为
$\mathbf{x}(n)_{_{M\times 1}} = \mathbf{a(\theta_1)}s_{_1}(n)+ \mathbf{a(\theta_2)}s_{_2}(n)+\cdots+ \mathbf{a(\theta_N)}s_{_N}(n)$x(n)M×1​​=a(θ1​)s1​​(n)+a(θ2​)s2​​(n)+⋯+a(θN​)sN​​(n)利用小学二年级学过的矩阵知识:)，可以整理为$\mathbf{x}(n) _{_{M\times 1}}= [\mathbf{a(\theta_1)},\mathbf{a(\theta_2)},\cdots,\mathbf{a(\theta_N)}]_{_{M\times N}}\times [s_{_1}(n), s_{_2}(n),\cdots, s_{_N}(n)]^T_{_{1\times N}}\triangleq\mathbf{A_{_{M\times N}}s_{_{N\times 1}}}$x(n)M×1​​=[a(θ1​),a(θ2​),⋯,a(θN​)]M×N​​×[s1​​(n),s2​​(n),⋯,sN​​(n)]1×N​T​≜AM×N​​sN×1​​$\mathbf{A}_{M\times N}$AM×N​也称为方向矩阵、导向矩阵等等。和导向矢量是一个意思，以后统称为导向矢量。

这里 $\mathbf{A}_{M\times N}$AM×N​的维度值得关注：

1. 行数 $M$M 是阵列中阵元的个数；
2. 列数 $N$N 是信号的个数。若只有一个信号，则退化成一个信号 $\mathbf{x}(n) = \mathbf{a(\theta)}s(n)$x(n)=a(θ)s(n) 的形式。

3 .最简单的DOA估计：空间傅里叶变换

3.1 算法推导

注意到接收信号的形式$\mathbf{x}(n) = [1,e^{-j2\pi f_0\frac{dsin(\theta)}{c}},e^{-j2\pi f_0\frac{2dsin(\theta)}{c}},e^{-j2\pi f_0\frac{3dsin(\theta)}{c}},\cdots,e^{-j2\pi f_0\frac{(M-1)dsin(\theta)}{c}}]s(n)$x(n)=[1,e−j2πf0​cdsin(θ)​,e−j2πf0​c2dsin(θ)​,e−j2πf0​c3dsin(θ)​,⋯,e−j2πf0​c(M−1)dsin(θ)​]s(n)虽然信号的角度我们不知道，但还是对于给定的阵列，其导向矢量的数学形式是知道的。比如对于ULA，肯定是Vandermonde结构的。就凭这一点，我们就有了一种DOA估计的方法。

具体而言，我们可以构造出一个导向矢量来，其中的角度任意给定（盲猜，不妨设为$\alpha$α）,那么就可以构造出一个来波方向为$\alpha$α的导向矢量为$\mathbf{a(\alpha)}=[1,e^{-j2\pi f_0\frac{dsin(\alpha)}{c}},e^{-j2\pi f_0\frac{2dsin(\alpha)}{c}},e^{-j2\pi f_0\frac{3dsin(\alpha)}{c}},\cdots,e^{-j2\pi f_0\frac{(M-1)dsin(\\alpha)}{c}}]$a(α)=[1,e−j2πf0​cdsin(α)​,e−j2πf0​c2dsin(α)​,e−j2πf0​c3dsin(α)​,⋯,e−j2πf0​c(M−1)dsin(alpha)​]用我们盲猜的这个导向矢量$\mathbf{a(\alpha)}$a(α)和接收信号做向量内积，即$y=\mathbf{a^H(\alpha)}\cdot\mathbf{x}(n)=\mathbf{a^H(\alpha)}\mathbf{a(\theta)}s(n)$y=aH(α)⋅x(n)=aH(α)a(θ)s(n)结果应该是一个标量。简单计算一下可以得到$y=[1+e^{j2\pi f_0d\frac{sin(\alpha)-sin(\theta)}{c}}+e^{j2\pi f_0d\frac{2[sin(\alpha)-sin(\theta)]}{c}}+\cdots+e^{j2\pi f_0d\frac{(M-1)[sin(\alpha)-sin(\theta)]}{c}}]s(n)\geq Ms(n)$y=[1+ej2πf0​dcsin(α)−sin(θ)​+ej2πf0​dc2[sin(α)−sin(θ)]​+⋯+ej2πf0​dc(M−1)[sin(α)−sin(θ)]​]s(n)≥Ms(n)等号在 $\alpha=\theta$α=θ 处取得。

通过这个不等式可知，如果我们盲猜对了，即$\alpha=\theta$α=θ，那么得到的结果是一个最大值。
因此，我们可以把所有的角度都猜一遍，找出那么结果结果最大的，其对应的角度就是我们DOA估计的结果。

这里就可以引出一个DOA估计的方法：

for: $\theta$θ from $-90\degree$−90° to $-90\degree$−90°
caculate $y_{_\alpha}=\mathbf{a^H(\alpha)}\cdot\mathbf{x}(n)$yα​​=aH(α)⋅x(n);
end for
$\theta= \max\limits_{\alpha} y_{_\alpha}$θ=αmax​yα​​

3.2 算法仿真实例

实例1：假设只有一个目标位于 $\theta_1=5\degree$θ1​=5°的地方，得到的结果为
实例2：假设两个目标分别位于 $\theta_1=5\degree,\theta_2=10\degree$θ1​=5°,θ2​=10°,采用上述方法得到的结果为实例3：假设两个目标分别位于 $\theta_1=5\degree,\theta_2=30\degree$θ1​=5°,θ2​=30°,采用上述方法得到的结果为

4 .思考

从三个仿真实例可以看出，单目标没有问题，但是当两目标过于靠近时，此DOA算法不能分辨两个目标。这就带来了几个思考：

1. 本算法的分辨力到底如何？目标靠的多近时就不能分辨了？
2. 有没有什么算法分辨率高一些？代价是什么？

这些问题以后会慢慢说明。

5 .代码

代码已上传，有需要可下载。设置了一点下载积分，希望大家理解。

PS：原创，纯手敲。如有错误、建议等，请留言或私信，大家共同进步。