1. mini-batch 梯度下降算法

在对整个训练集执行梯度下降法时，每进行一步梯度下降法都必须处理整个训练集。训练集很大的时候，如有500万或5000万训练数据时，处理速度就会比较慢。

如果每次处理训练数据的一部分，即用其子集进行梯度下降，则我们的算法速度会执行的更快。而处理的这些一小部分训练子集即称为Mini-batch。

1.1 算法原理：

对于普通的梯度下降法，一个epoch只能进行一次梯度下降；而对于Mini-batch梯度下降法，一个epoch可以进行Mini-batch的个数次梯度下降。

1.2 batch vs. mini-batch

普通的batch梯度下降法和Mini-batch梯度下降法代价函数的变化趋势，如下图所示：

batch梯度下降（size=m）：

• 对所有m个训练样本执行一次梯度下降，每一次迭代时间较长；
• Cost function 总是向减小的方向下降。

随机梯度下降（size=1）：

• 对每一个训练样本执行一次梯度下降，但是丢失了向量化带来的计算加速；
• Cost function总体的趋势向最小值的方向下降，但是无法到达全局最小值点，呈现波动的形式。

Mini-batch梯度下降：

• 选择一个 1<size<m 的合适的size进行Mini-batch梯度下降，可以实现快速学习，也应用了向量化带来的好处；
• Cost function的下降处于前两者之间。

1.3 mini-batch大小的选择

• 如果训练样本的大小比较小时，如 $m\leqslant 2000$m⩽2000 时，选择batch梯度下降法；
• 如果训练样本的大小比较大时，典型的大小为：$2^{6}、2^{7}、\cdots、2^{10}$26、27、⋯、210 ；
• Mini-batch的大小要符合CPU/GPU内存。

2. 指数加权平均

2.1 原理

指数加权平均的关键函数：

$v_{t} = \beta v_{t-1}+(1-\beta)\theta_{t}$vt​=βvt−1​+(1−β)θt​

下图是一个关于天数和温度的散点图：

• 当 $\beta =0.9$β=0.9 时，指数加权平均最后的结果如图中红色线所示；
• 当 $\beta =0.98$β=0.98 时，指数加权平均最后的结果如图中绿色线所示；
• 当 $\beta =0.5$β=0.5 时，指数加权平均最后的结果如下图中黄色线所示；

2.2 理解指数加权平均

例子，当 $\beta =0.9$β=0.9 时：

$v_{100} = 0.9v_{99}+0.1\theta_{100}\\v_{99} = 0.9v_{98}+0.1\theta_{99}\\v_{98} = 0.9v_{97}+0.1\theta_{98}\\ \ldots$v100​=0.9v99​+0.1θ100​v99​=0.9v98​+0.1θ99​v98​=0.9v97​+0.1θ98​…

展开，有：

$v_{100}=0.1\theta_{100}+0.9(0.1\theta_{99}+0.9(0.1\theta_{98}+0.9v_{97}))\\=0.1\theta_{100}+0.1\times0.9\theta_{99}+0.1\times(0.9)^{2}\theta_{98}+0.1\times(0.9)^{3}\theta_{97}+\cdots$v100​=0.1θ100​+0.9(0.1θ99​+0.9(0.1θ98​+0.9v97​))=0.1θ100​+0.1×0.9θ99​+0.1×(0.9)2θ98​+0.1×(0.9)3θ97​+⋯

上式中所有 $\theta$θ 前面的系数相加起来为1或者接近于1，称之为偏差修正。

总体来说存在， $(1-\varepsilon)^{1/\varepsilon}=\dfrac{1}{e}$(1−ε)1/ε=e1​ ，在我们的例子中， $1-\varepsilon=\beta=0.9$1−ε=β=0.9 ，即 $0.9^{10}\approx 0.35\approx\dfrac{1}{e}$0.910≈0.35≈e1​ 。相当于大约10天后，系数的峰值（这里是0.1）下降到原来的 $\dfrac{1}{e}$e1​ ，只关注了过去10天的天气。

指数加权平均实现

$v_{0} =0\\ v_{1}= \beta v_{0}+(1-\beta)\theta_{1}\\ v_{2}= \beta v_{1}+(1-\beta)\theta_{2}\\ v_{3}= \beta v_{2}+(1-\beta)\theta_{3}\\ \ldots$v0​=0v1​=βv0​+(1−β)θ1​v2​=βv1​+(1−β)θ2​v3​=βv2​+(1−β)θ3​…

因为，在计算当前时刻的平均值，只需要前一天的平均值和当前时刻的值，所以在数据量非常大的情况下，指数加权平均在节约计算成本的方面是一种非常有效的方式，可以很大程度上减少计算机资源存储和内存的占用。

2.3 指数加权平均的偏差修正

在我们执行指数加权平均的公式时，当 $\beta=0.98$β=0.98 时，我们得到的并不是图中的绿色曲线，而是下图中的紫色曲线，其起点比较低。

原因：

$v_{0}=0\\v_{1}=0.98v_{0}+0.02\theta_{1}=0.02\theta_{1}\\v_{2}=0.98v_{1}+0.02\theta_{2}=0.98\times0.02\theta_{1}+0.02\theta_{2}=0.0196\theta_{1}+0.02\theta_{2}$v0​=0v1​=0.98v0​+0.02θ1​=0.02θ1​v2​=0.98v1​+0.02θ2​=0.98×0.02θ1​+0.02θ2​=0.0196θ1​+0.02θ2​

如果第一天的值为如 40 ，则 $v_{1}=0.02\times40=8$v1​=0.02×40=8 ，得到的值要远小于实际值，后面几天的情况也会由于初值引起的影响，均低于实际均值。

偏差修正：

使用 $v_{t}=\frac{v_{t}}{1-\beta^t}$vt​=1−βtvt​​

当 t=2 时：

$1-\beta^{t}=1-(0.98)^{2}=0.0396$1−βt=1−(0.98)2=0.0396

$\dfrac{v_{2}}{0.0396}=\dfrac{0.0196\theta_{1}+0.02\theta_{2}}{0.0396}$0.0396v2​​=0.03960.0196θ1​+0.02θ2​​

偏差修正得到了绿色的曲线，在开始的时候，能够得到比紫色曲线更好的计算平均的效果。随着 t 逐渐增大， $\beta^{t}$βt 接近于0，所以后面绿色的曲线和紫色的曲线逐渐重合了。

在实际过程中，一般会忽略前期均值偏差的影响。

3. 动量（Momentum）梯度下降法

动量梯度下降的基本思想就是计算梯度的指数加权平均数，并利用该梯度来更新权重。

在我们优化 Cost function 的时候，以下图所示的函数图为例：

在利用梯度下降法来最小化该函数的时候，每一次迭代所更新的代价函数值如图中蓝色线所示在上下波动，而这种幅度比较大的波动，减缓了梯度下降的速度，而且我们只能使用一个较小的学习率来进行迭代。

如果用较大的学习率，结果可能会如紫色线一样偏离函数的范围，所以为了避免这种情况，只能用较小的学习率。

但是我们又希望在如图的纵轴方向梯度下降的缓慢一些，不要有如此大的上下波动，在横轴方向梯度下降的快速一些，使得能够更快的到达最小值点，而这里用动量梯度下降法既可以实现，如红色线所示。

算法实现

$\beta$β 常用的值是0.9。

在我们进行动量梯度下降算法的时候，由于使用了指数加权平均的方法。原来在纵轴方向上的上下波动，经过平均以后，接近于0，纵轴上的波动变得非常的小；但在横轴方向上，所有的微分都指向横轴方向，因此其平均值仍然很大。最终实现红色线所示的梯度下降曲线。

在对应上面的计算公式中，将Cost function想象为一个碗状，想象从顶部往下滚球，其中：

• 微分项 dw,db 想象为球提供的加速度；
• 动量项 v_{dw},v_{db} 相当于速度；

小球在向下滚动的过程中，因为加速度的存在使得速度会变快，但是由于 \beta 的存在，其值小于1，可以认为是摩擦力，所以球不会无限加速下去。

4. RMSprop（root mean square prop）

除了上面所说的Momentum梯度下降法，RMSprop（root mean square prop）也是一种可以加快梯度下降的算法。

同样算法的样例实现如下图所示：

这里假设参数b的梯度处于纵轴方向，参数w的梯度处于横轴方向（当然实际中是处于高维度的情况），利用RMSprop算法，可以减小某些维度梯度更新波动较大的情况，如图中蓝色线所示，使其梯度下降的速度变得更快，如图绿色线所示。

在如图所示的实现中，RMSprop将微分项进行平方，然后使用平方根进行梯度更新，同时为了确保算法不会除以0，平方根分母中在实际使用会加入一个很小的值如 $\varepsilon=10^{-8}$ε=10−8 。

5. Adam 优化算法

Adam （Adaptive Moment Estimation）优化算法的基本思想就是将 Momentum 和 RMSprop 结合起来形成的一种适用于不同深度学习结构的优化算法。

算法实现：

初始化： $V_{dw} = 0，S_{dw}=0，V_{db}=0，S_{db} = 0$Vdw​=0，Sdw​=0，Vdb​=0，Sdb​=0

第 t 次迭代：

• $Compute dw，db on the current mini-batch$Computedw，dbonthecurrentmini−batch
• $V_{dw}=\beta_{1}V_{dw}+(1-\beta_{1})dw，V_{db}=\beta_{1}V_{db}+(1-\beta_{1})db ----- “Momentum”$Vdw​=β1​Vdw​+(1−β1​)dw，Vdb​=β1​Vdb​+(1−β1​)db−−−−−“Momentum”
• $S_{dw}=\beta_{2}S_{dw}+(1-\beta_{2})(dw)^{2}，S_{db}=\beta_{2}S_{db}+(1-\beta_{2})(db)^{2} ----- “RMSprop”$Sdw​=β2​Sdw​+(1−β2​)(dw)2，Sdb​=β2​Sdb​+(1−β2​)(db)2−−−−−“RMSprop”
• $V_{dw}^{corrected} = V_{dw}/(1-\beta_{1}^{t})，V_{db}^{corrected} = V_{db}/(1-\beta_{1}^{t}) ----- 偏差修正$Vdwcorrected​=Vdw​/(1−β1t​)，Vdbcorrected​=Vdb​/(1−β1t​)−−−−−偏差修正
• $S_{dw}^{corrected} = S_{dw}/(1-\beta_{2}^{t})，S_{db}^{corrected} = S_{db}/(1-\beta_{2}^{t}) ----- 偏差修正$Sdwcorrected​=Sdw​/(1−β2t​)，Sdbcorrected​=Sdb​/(1−β2t​)−−−−−偏差修正
• $w:=w-\alpha\dfrac{V_{dw}^{corrected}}{\sqrt{S_{dw}^{corrected}}+\varepsilon}，b:=b-\alpha\dfrac{V_{db}^{corrected}}{\sqrt{S_{db}^{corrected}}+\varepsilon}$w:=w−αSdwcorrected​​+εVdwcorrected​​，b:=b−αSdbcorrected​​+εVdbcorrected​​

超参数的选择

$\alpha$α ：需要进行调试；
$\beta_{1}$β1​ ：常用缺省值为0.9， $dw$dw 的加权平均；
$4\beta_{2}$4β2​ ：推荐使用0.999， $dw^{2}$dw2 的加权平均值；
$\varepsilon$ε ：推荐使用 $10^{-8}$10−8 。

6. 学习率衰减

在我们利用 mini-batch 梯度下降法来寻找Cost function的最小值的时候，如果我们设置一个固定的学习速率 $\alpha$α ，则算法在到达最小值点附近后，由于不同batch中存在一定的噪声，使得不会精确收敛，而一直会在一个最小值点较大的范围内波动，如下图中蓝色线所示。

但是如果我们使用学习率衰减，逐渐减小学习速率 $\alpha$α ，在算法开始的时候，学习速率还是相对较快，能够相对快速的向最小值点的方向下降。但随着 $\alpha$α 的减小，下降的步伐也会逐渐变小，最终会在最小值附近的一块更小的区域里波动，如图中绿色线所示。

学习率衰减的实现：

• 常用： $\alpha = \dfrac{1}{1+decay\_rate*epoch\_num}\alpha_{0}$α=1+decay_rate∗epoch_num1​α0​
• 指数衰减： $\alpha = 0.95^{epoch\_num}\alpha_{0}$α=0.95epoch_numα0​
• 其他： $\alpha = \dfrac{k}{epoch\_num}\cdot\alpha_{0}$α=epoch_numk​⋅α0​
• 离散下降（不同阶段使用不同的学习速率）

7. 局部最优问题

在低维度的情形下，我们可能会想象到一个Cost function 如左图所示，存在一些局部最小值点，在初始化参数的时候，如果初始值选取的不得当，会存在陷入局部最优点的可能性。

但是，如果我们建立一个高维度的神经网络。通常梯度为零的点，并不是如左图中的局部最优点，而是右图中的鞍点（叫鞍点是因为其形状像马鞍的形状）。

在一个具有高维度空间的函数中，如果梯度为0，那么在每个方向，Cost function可能是凸函数，也有可能是凹函数。但如果参数维度为2万维，想要得到局部最优解，那么所有维度均需要是凹函数，其概率为 $2^{-20000}$2−20000 ，可能性非常的小。也就是说，在低维度中的局部最优点的情况，并不适用于高维度，在梯度为0的点更有可能是鞍点，而不是局部最小值点。

在高纬度的情况下：

• 几乎不可能陷入局部最小值点；
• 处于鞍点的停滞区会减缓学习过程，利用如Adam等算法进行改善。

参考资料

[1] 吴恩达深度学习****连载笔记：https://zhuanlan.zhihu.com/p/30034654
[2] 吴恩达深度学习网易云视频课

总结的真的很好哎。。这一趴的貌似没改动。QAQ