梯度下降法 (Gradient Descent)

梯度下降法可以做什么？

在你测试集上，通过最小化代价函数（成本函数） $J(w,b)$J(w,b) 来训练的参数 $w$w 和 $b$b ，

如图，在第二行给出和之前一样的逻辑回归算法的代价函数（成本函数）

梯度下降法的形象化说明

在这个图中，横轴表示你的空间参数 $w$w 和 $b$b ，在实践中， $w$w 可以是更高的维度，但是为了更好地绘图，我们定义 $w$w 和 $b$b ，都是单一实数，代价函数（成本函数） $J(w,b)$J(w,b) 是在水平轴 $w$w 和 $b$b 上的曲面，因此曲面的高度就是 $J(w,b)$J(w,b) 在某一点的函数值。我们所做的就是找到使得代价函数（成本函数） $J(w,b)$J(w,b) 函数值是最小值，对应的参数 $w$w 和 $b$b 。

如图，代价函数（成本函数） $J(w,b)$J(w,b) 是一个凸函数(convex function)，像一个大碗一样。

如图，这就与刚才的图有些相反，因为它是非凸的并且有很多不同的局部最小值。由于逻辑回归的代价函数（成本函数） $J(w,b)$J(w,b) 特性，我们必须定义代价函数（成本函数） $J(w,b)$J(w,b) 为凸函数。 初始化 $w$w 和 $b$b，

可以用如图那个小红点来初始化参数 $w$w 和 $b$b ，也可以采用随机初始化的方法，对于逻辑回归几乎所有的初始化方法都有效，因为函数是凸函数，无论在哪里初始化，应该达到同一点或大致相同的点。

我们以如图的小红点的坐标来初始化参数 $w$w 和 $b$b 。

2. 朝最陡的下坡方向走一步，不断地迭代

我们朝最陡的下坡方向走一步，如图，走到了如图中第二个小红点处。

我们可能停在这里也有可能继续朝最陡的下坡方向再走一步，如图，经过两次迭代走到第三个小红点处。

3.直到走到全局最优解或者接近全局最优解的地方

通过以上的三个步骤我们可以找到全局最优解，也就是代价函数（成本函数） $J(w,b)$J(w,b) 这个凸函数的最小值点。

梯度下降法的细节化说明（仅有一个参数）

假定代价函数（成本函数） $J(w)$J(w) 只有一个参数 $w$w ，即用一维曲线代替多维曲线，这样可以更好画出图像。

迭代就是不断重复做如图的公式:

$:=$:= 表示更新参数,

$\alpha$α 表示学习率（learning rate），用来控制步长（step），即向下走一步的长度 $\frac{dJ(w)}{dw}$dwdJ(w)​ 就是函数 $J(w)$J(w) 对 $w$w 求导（derivative），在代码中我们会使用 $dw$dw 表示这个结果

对于导数更加形象化的理解就是斜率（slope），如图该点的导数就是这个点相切于 $J(w)$J(w) 的小三角形的高除宽。假设我们以如图点为初始化点，该点处的斜率的符号是正的，即 $\frac{dJ(w)}{dw}>0$dwdJ(w)​>0 ，所以接下来会向左走一步。

整个梯度下降法的迭代过程就是不断地向左走，直至逼近最小值点。

假设我们以如图点为初始化点，该点处的斜率的符号是负的，即 $\frac{dJ(w)}{dw}<0$dwdJ(w)​<0 ，所以接下来会向右走一步。

整个梯度下降法的迭代过程就是不断地向右走，即朝着最小值点方向走。

梯度下降法的细节化说明（两个参数）

逻辑回归的代价函数（成本函数） $J(w,b)$J(w,b) 是含有两个参数的。

$\partial$∂ 表示求偏导符号，可以读作round， $\frac{\partial J(w,b)}{\partial w}$∂w∂J(w,b)​ 就是函数 $J(w,b)$J(w,b) 对 $w$w 求偏导，在代码中我们会使用 $dw$dw 表示这个结果， $\frac{\partial J(w,b)}{\partial b}$∂b∂J(w,b)​ 就是函数 $J(w,b)$J(w,b) 对 $b$b 求偏导，在代码中我们会使用 $db$db 表示这个结果， 小写字母 $d$d 用在求导数（derivative），即函数只有一个参数， 偏导数符号 $\partial$∂ 用在求偏导（partial derivative），即函数含有两个以上的参数。

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