统计|如何理解和进行两个总体方差的假设检验

本博文源于《商务统计》，旨在研究两个总体方差的假设检验问题。

例子：现有工厂两台机器，测得加工零件直径，标准规格10mm,现需要判断两台机器加工精度是否存在差异

实验分析

一台机器的零件的总体规格可以用方差进行衡量。方差是衡量观测值与平均值波动大小的一个指标。因此判断两者的差异就变成两个方差之间的差异。现在只知道样本的方差，我们根据样本的方差去假设检验总体的方差是否有差异就需要用到F检验。

实验假设及F分布

假设如下：
$H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2\\ H_1:\sigma_1^2\neq\sigma_2^2\\ \sigma_1^2:样本1方差\\ \sigma_2^2:样本2方差$H0​:σ12​=σ22​H1​:σ12​​=σ22​σ12​:样本1方差σ22​:样本2方差
在两个总体方差比的时候，我们提到了F分布。
统计|两个总体方差比的区间估计(如何用公式计算)
F分布的定义是由卡方分布引出来的。F分布在两个总体方差的假设检验中使用广泛。
$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$F=S22​S12​​
如果$\frac{S_1^2}{S_2^2}$S22​S12​​接近于1，说明两个总体方差很接近
反之就是存在差异。
$F=\frac{s_1^2}{s_2^2}服从F(n_1-1,n_2-1)$F=s22​s12​​服从F(n1​−1,n2​−1)

例子：关于灯泡的假设检验

实验分析及步骤

这是一个现实中的生活问题，通过比较方差是否有明显差异。在做题目的时候，牢记一般的假设检验步骤即可，步骤如下：

• 建立假设
• 抽样假设检验分布
• 寻找临界值
• 计算检验统计量
• 决策进行结论

建立假设

原假设没有差异，备择假设有差异。只是检验是否有差异，不管是大了还是小了，很显然这是一个双侧检验。
$H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2\\ H_0:\sigma_1^2\neq\sigma_2^2\\ n_1=15\\ n_2=20$H0​:σ12​=σ22​H0​:σ12​​=σ22​n1​=15n2​=20

抽样的假设检验分布

根据服从F分布，它是服从$F(n_1-1,n_2-1)=F(14,19)$F(n1​−1,n2​−1)=F(14,19)

寻找临界值

双侧检验，临界值一个是2.62，一个是0.352

检验统计量

$F=\frac{s_1^2}{s_2^2}=\frac{2431.429}{3675.461}=0.6615$F=s22​s12​​=3675.4612431.429​=0.6615

决策进行结论

属于0.352到2.62之间，不能否定原假设，也就是支持原假设，两个厂商无显著差异，可考虑价格进行购买

总结

通过两个总体方差的假设检验发现F分布带来的F检验效果非常明显，由此推断的两个总体方差也是有理有据的。