更上一层楼，数学是基础——渐近线和可分离变量微分方程

渐近线

【(同济)《高等数学》(第六版上)第一章总习题14】

相关知识点

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点到直线的距离

$d(M, L) = \frac{|kx - y +b|}{\sqrt{1 + k^2}}$d(M,L)=1+k2​∣kx−y+b∣​

洛必达法则

洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式值的方法。
比如：$\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = \displaystyle \lim_{t \to 0} {e^t} = 1$t→0lim​tet−1​=t→0lim​et=1

证明直线为曲线的渐近线的充分必要条件

$证明：\because d(M, L) = \frac{|kx - y +b|}{\sqrt{1 + k^2}} \\ \therefore \displaystyle \lim_{x \to \infty} d(M, L) = \lim_{x \to \infty} \frac{|kx - y +b|}{\sqrt{1 + k^2}} = 0(y = f(x))，\\ 从而，得\displaystyle \lim_{x \to \infty} {[kx - f(x) + b] = 0}，\\ 即 b = \displaystyle \lim_{x \to \infty} {[f(x) - kx]}. \\ 又 \displaystyle \lim_{x \to \infty}{[\frac{f(x)}{x} - k]} = \lim_{x \to \infty}{\frac{1}{x} \cdot [f(x) - kx]} = \lim_{x \to \infty}{\frac{1}{x} \cdot b} = 0 \cdot b = 0 \\ 得k = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}.【必要性证毕】\\ \space \\ 反之，如果： k = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} 和 b = \displaystyle \lim_{x \to \infty} {[f(x) - kx]} \\ 则\displaystyle \lim_{x \to \infty} d(M, L) = \lim_{x \to \infty} \frac{|kx - y +b|}{\sqrt{1 + k^2}} = 0，\\ 从而所得y = kx + b确为曲线之渐近线. 【充分性证毕】$证明：∵d(M,L)=1+k2​∣kx−y+b∣​∴x→∞lim​d(M,L)=x→∞lim​1+k2​∣kx−y+b∣​=0(y=f(x))，从而，得x→∞lim​[kx−f(x)+b]=0，即b=x→∞lim​[f(x)−kx].又x→∞lim​[xf(x)​−k]=x→∞lim​x1​⋅[f(x)−kx]=x→∞lim​x1​⋅b=0⋅b=0得k=x→∞lim​xf(x)​.【必要性证毕】 反之，如果：k=x→∞lim​xf(x)​和b=x→∞lim​[f(x)−kx]则x→∞lim​d(M,L)=x→∞lim​1+k2​∣kx−y+b∣​=0，从而所得y=kx+b确为曲线之渐近线.【充分性证毕】

求曲线$y = (2x - 1) e^{\frac {1}{x}}$y=(2x−1)ex1​的渐近线

$k = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} \\ = \lim_{x \to \infty} {\frac{(2x - 1) e^{\frac {1}{x}}}{x}} =\lim_{x \to \infty} \frac{(2x - 1)}{x} \cdot \lim_{x \to \infty} e^{\frac {1}{x}} = 2\\ b = \lim_{x \to \infty} {[f(x) - kx]}\\ = \lim_{x \to \infty} {[(2x - 1) e^{\frac {1}{x}} - 2x]}\\ = \lim_{x \to \infty} 2x \cdot (e^{\frac {1}{x}} - 1) - \lim_{x \to \infty} e^{\frac {1}{x}}\\ = \lim_{t \to 0} 2 \cdot \frac {e^t - 1}{t} - 1【替换：t = \frac {1}{x}】\\ = 2 -1 = 1$k=x→∞lim​xf(x)​=x→∞lim​x(2x−1)ex1​​=x→∞lim​x(2x−1)​⋅x→∞lim​ex1​=2b=x→∞lim​[f(x)−kx]=x→∞lim​[(2x−1)ex1​−2x]=x→∞lim​2x⋅(ex1​−1)−x→∞lim​ex1​=t→0lim​2⋅tet−1​−1【替换：t=x1​】=2−1=1
所以曲线$y = (2x - 1) e^{\frac {1}{x}}$y=(2x−1)ex1​的渐近线为：$y = 2x + 1$y=2x+1。

可分离变量微分方程

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基本形式$y^{'} = f(y, x)$y′=f(y,x)

【示例：$y + 3 \cdot \frac {d_y}{d_x} - 5 = 0$y+3⋅dx​dy​​−5=0】

$解：\frac {d_y}{d_x} = \frac {5 - y}{3} \\ \frac {d_y}{5 - y} = \frac {d_x}{3} \\ 两端分别积分得： \\ -ln⁡|5 - y| = \frac {x}{3} + c \\ 结果： \\ y = 5 ± \frac{1}{e^{(\frac {x}{3} + c)}} \\ \space \\ 验算：\\ 5 ± \frac {1}{e^{(\frac {x}{3} + c) }} + 3 \cdot (∓ \frac {1}{3} \cdot \frac {1}{e^{(\frac {x}{3} + c)} }) - 5 = 0$解：dx​dy​​=35−y​5−ydy​​=3dx​​两端分别积分得：−ln⁡∣5−y∣=3x​+c结果：y=5±e(3x​+c)1​ 验算：5±e(3x​+c)1​+3⋅(∓31​⋅e(3x​+c)1​)−5=0

总结：

• 数学能提供编程的思路，是程序员的内功。
• 能将问题用数学语言表达清楚，基本就能写出代码了。

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