有界杆上的温度分布 | 分离变量法（五）| 偏微分方程（十七）

长为l的导热细杆，杆身侧面绝热，内部无热源。杆的一段绝热，杆的另一端与外界温度保持零度的介质自由热交换，杆的初始温度已知，求此有界杆上的温度分布。

解：设杆上各点的温度为 $u(t,x)$ ，则u满足定解问题
$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\quad t>0,0<x<l \\ \frac{\partial u}{\partial x}|_{x=0}=0, \quad (\frac{\partial u}{\partial x}+\gamma u)|_{x=1}=0 \\ u|_{t=0}=\varphi(x) \tag{12} \end{cases}$
其中， $\gamma = \frac{h}{k}$ ，k为杆身的热传导系数，h为杆端与外界的热交换系数。

设 $u(t,x)=T(t)X(x)$ ，代入方程和边界条件，分离得固有值问题
$\begin{cases} X''(x)+\lambda X(x)=0, \quad 0<x<l, \\ X'(0)=X'(l)+\gamma X(l)=0 \end{cases}$
和常微分方程
$T'(t)+a^2\lambda T(t)=0$
上述固有值问题中的方程时S-L型的， $k(x)\equiv 1,q(x)\equiv 0,\rho(x)\equiv 1$ 。两端 $x=0,x=l$ 均为方程的常点，分别配以第II、III类齐次边界条件。由S-L定理得，固有值 $\lambda>0$ 。

设 $\lambda=\omega^2>0$ ，解得
$X(x)=Acos\omega x+Bsin\omega x$
代入 $x=0$ 端边界条件
$X'(0)=B\omega =0$
有 $B=0$ ，代入 $x=l$ 端边界条件
$X'(l)+\gamma X(l)=-A\omega sin\omega l+A\gamma cos\omega l=0$
得
$tan\omega l=\frac{\gamma}{\omega}$
有界杆上的温度分布 | 分离变量法（五）| 偏微分方程（十七）
由图可见，此超越方程有无穷多个正实根。记第n个正实根为 $\omega_n$ ，则得固有值
$\lambda_n=w_n^2,\quad n=1,2,\cdots$
和相应的固有函数
$X_n(x)=cos\omega_nx$
此固有函数的模平方为
$||X_n(x)||^2=\int_0^lcos^2\omega_nxdx=\frac{1}{2}\int_0^l(1+cos2\omega_nx)dx =\frac{1}{2}(l+\frac{\gamma}{\omega_n^2+\gamma^2})$
由 $T(t)$ 的方程，解得相应于 $\lambda_n=\omega_n^2$ 的
$T_n(t)=e^{-a^2\omega^2_nt}$
设 $u(t,x)=\sum_{n=1}^{+\infty}C_ne^{-a^2\omega_n^2t}cos\omega_nx$ 代入（12）的初始条件
$u|_{t=0}=\sum_{n=1}^{+\infty}C_ncosw_nx=\varphi(x)$
这是 $\varphi(x)$ 按固有函数系 $\{cos\omega_nx\}$ 的展开式，由S-L定理中公式（11）得
$C_n=\frac{1}{||X_n(x)||^2}\int_0^l\varphi(x)cos\omega_nxdx=\frac{2}{l+\frac{\gamma}{w_n^2+\gamma^2}}\int_0^l\varphi(x)cos\omega_nxdx$
最后得问题（12）式的形式解
$u(t,x)=\sum_{n=1}^{+\infty}[\frac{1}{2}(l+\frac{\gamma}{\omega_n^2+\gamma^2})]^{-1}\int_0^l\varphi(\xi)cos\omega_n\xi d\xi e^{-a^2wn^2t}cosw_nx$

有界杆上的温度分布 | 分离变量法（五）| 偏微分方程（十七）

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