凸函数（Convex Function）和凹函数（Concave Function）

定义

设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1)，
都有 :
f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2), 则称f(x)是I上的凹函数。
若不等号严格成立，即"<“号成立，则称f(x)在I上是严格凹函数。
如果”<=“换成”>="就是凸函数。类似也有严格凸函数。

几何理解

在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。
直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。比如y=-x^2,y=lnx.

性质

如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则：

f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f’’(x)>=0;

f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f’’(x)<=0;

双凸函数（多变量凸函数）

函数

直观理解

各二阶偏导数构成的矩阵叫海塞矩阵。若二阶偏导数连续，则求导顺序可交换，该矩阵为对称矩阵。若该矩阵负定，则形似锅盖，有极大值；若正定，则形似碗，有极小值