K 凸函数的一些性质和相关证明

一、K 凸函数的定义：

定义1 ∀ a,b>0$\mathrm{\forall }a,b>0$

定义2∀ a>0$\mathrm{\forall }a>0$

定义3∀ 0<μ<1$\mathrm{\forall }0<\mu <1$

定义3 其实由定义1 改造而来，只要令 x1=x−b$x_1=x-b$, x2=x+a$x_2=x+a$, μ=aa+b$\mu =\frac{a}{a+b}$ 即可。

二、一个 K 凸函数图像：

三、s$s$, S$S$ 的定义

设 f$f$ 为在定义域 [A,B]$[A,B]$ 上的一个 K 凸函数，f∗$f^{\ast }$ 为其在定义域内的最小值，

注：s$s$ 可能不在定义域内。

四、K-凸函数的相关性质

1. f(x)$f(x)$ 在区间 [A,s]$[A,s]$ 上单调递减.

证明：当 x<s$x<s$ 时，根据 s$s$ 的定义，显然 f(x)>f(S)+K$f(x)>f(S)+K$。令 x+a=S$x+a=S$，则根据定义1 或定义 2，当 x<s$x<s$ 时,

因此 f(x)$f(x)$ 在区间 [A,s]$[A,s]$ 上单调递减。

2. 对任意 s<x1<x2$s<x_1<x_2$，都有 f(x2)+K≥f(x1)$f(x_2)+K\ge f(x_1)$.

证明：
(1) 若 x2>x1≥S$x_2>x_1\ge S$ 或 x1<x2≤S$x_1<x_2\le S$, 在定义1 中令 x−b=S$x-b=S$, x+a=x2$x+a=x_2$, x=x1$x=x_1$，得到：

(2) 若 x1<S<x2$x_1<S<x_2$，在定义1 中令 x+a=S$x+a=S$, x−b=s$x-b=s$, x=x1$x=x_1$，得到：
□$◻$

对任意 s<x1<x2$s<x_1<x_2$，当然也满足 K-凸条件：K+f(x2)≥f(x1)+(x2−x1)f(x1)−f(x1−b)b$K+f(x_2)\ge f(x_1)+(x_2-x_1)\frac{f(x_1)-f(x_1-b)}{b}$

3. 在定义域 [A,B]$[A,B]$ 上的最优订货策略为 (s,S)$(s,S)$, 即：

需要证明 当 f(x)$f(x)$ 为 k 凸函数时，g(x)$g(x)$ 为 k 凸函数。
证明：我们需证明 g(x)$g(x)$ 满足定义1. 对任意三个点 x−b$x-b$, x$x$, x+a$x+a$
一共有以下四种情况：
(1) 若 x−b≥s$x-b\ge s$ 时，

上式就是 f(x)$f(x)$ K凸函数的定义，显然成立。

(2) 若 x+a<s$x+a<s$ 时，

上式显然是 K凸函数。

(3) 若 x−b<x<s<x+a$x-b<x<s<x+a$ 时，

为 K凸函数。

(4) 若 x−b<s<x$x-b<s<x$ 时，

根据性质2， K+f(x+a)−f(x)≥0$K+f(x+a)-f(x)\ge 0$。
若 f(x)≤f(s)$f(x)\le f(s)$，上式显然大于等于零。
若 f(x)<f(s)$f(x)<f(s)$，根据性质 1，可以得出 x>s$x>s$，又因为 x−b<s$x-b<s$，即 b>x−s$b>x-s$，上述表达式可以变为：

刚好为 K凸函数的定义，因此也大于等于零。

综合以上，在四种情况下，g(x)$g(x)$ 均为 K 凸函数。□$◻$

4. 若 g$g$ 为一个 K-凸函数，则 f$f$ 也是一个 K-凸函数，其中 f$f$ 为

证明：
我们需要证明

设 f(x)=g(x+β(x)R)$f(x)=g(x+\beta (x)R)$，其中 β(x)∈[0,1]$\beta (x)\in [0,1]$，则

上面这一步很巧， 利用构造函数去掉了 min 对分析函数性质的影响，也最重要，下面使用时结合了 f(x)$f(x)$ 的定义（第一个小于等于号，稍微有点绕）

因此

得证 □$◻$