小波教程第一部分

一、为什么我们需要频率信息？
通常，在频域中可以看到在时域中不容易看到的信息。FT给出了信号的频率信息，这意味着它告诉我们信号中每个频率有多少，但没有告诉我们这些频率分量何时存在。当信号为平稳信号时，不需要此信息。
例如以下信号：
x（t）= cos（2 \ pi \ cdot 10 t）+ cos（2 \ pi \ cdot 25 t）+ cos（2 \ pi \ cdot 50 t）+ cos（2 \ pi \ cdot 100 t）
是固定信号，因为它在任何给定的瞬间具有10、25、50和100 Hz的频率。该信号绘制如下：


FT不适合用于非平稳信号，但有一个例外：
如果我们仅对信号中存在的频谱分量感兴趣，而对它们发生的位置不感兴趣，则FT可以用于非平稳信号。但是，如果需要此信息，即，如果我们想知道什么频谱分量在什么时间（间隔）出现，则傅立叶变换不是使用的正确变换。出于实际目的，很难进行分离，因为存在许多实用的固定信号以及非固定信号。例如，几乎所有的生物信号都是不稳定的。一些最著名的是ECG（心脏的电活动，心电图），EEG（脑的电活动，脑电图）和EMG（肌肉的电活动，肌电图）。
FT给出了信号中存在的频率成分（频谱成分）。若想要知道频率随时间的变换则就要用到小波了。
二、小波变换
小波变换能够同时提供时间和频率信息，从而给出信号的时频表示。小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率，还可以定位到时间。
这个基函数会伸缩、会平移（其实本质并非平移，而是两个正交基的分解）。缩得窄，对应高频；伸得宽，对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。某一个尺度（宽窄）下乘出来的结果，就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是，基函数会在某些尺度下，与信号相乘得到一个很大的值，因为此时二者有一种重合关系。那么我们就知道信号包含该频率的成分的多少。