线性代数的本质 - 02 - 线性组合、张成的空间与基
一种有趣的方式看待坐标
当看到一对描述向量的数时，如 。把它的每个坐标看作是一个标量，也就是说它们如何压缩或拉伸一个向量。在xy坐标系中有两个特殊向量，i-hat 和 j-hat, 也就是xy两个方向的单位向量。从这一角度看， 就是两个经过缩放的向量的和。
i-hat和j-hat在坐标系中异常重要，被称为坐标系的“基向量”，合起来成为坐标系的基。任何一个向量都是由基向量拉伸或缩放组合而来的。
如果选择不同的基向量会怎么样？
假如我们选一个指向右上方，一个指向右下方的向量，这两个向量同样可以表示出所有的二维向量。但是对于同一个向量，用这组基表示的结果和用i-hat、j-hat表示的结果在数字上肯定不同。也就是说，用数字表示一个向量时，数字的大小依赖于我们正在使用的基。
接下来考虑“线性组合”这一概念，什么是线性组合？
- 两个向量标量乘法之和的结果被称为这两个向量的线性组合
“线性”和“直线”又有什么关系？我们可以这样考虑这个问题：如果固定其中一个标量，让另一个标量自由变化，所产生的向量的终点会描出一条直线。
如果让两个向量同时变化，会出现三种情况：
- 大部分情况，对于一对初始向量，你能到达平面中的每一个点。
- 当两个初始向量刚好共线时，就只能得到一条直线上的所有点。
- 当两个向量都是零向量时，就只能乖乖地呆在原点了。
所以有了一个新术语：
- 所有可以表示为给定向量线性组合的向量集合，被称为给定向量张成(span)的空间。
所以，我们可以这样说：
- 对于不共线的两个向量，它们的张成空间就是一个平面。
- 共线的向量的张成空间就是一条直线。
三维空间考虑张成空间
在三维空间取两个指向不同方向的向量
根据之前的讨论，我们知道，这两个向量的张成空间是一个过原点的平面。
那么如果我们再加上第三个向量，它们张成的空间又是什么样的呢?
这里同样分两种情况：
如果第三个向量恰好落在前两个向量所张成的平面上，它们的张成空间还是那个平面。换句话说，引入第三个向量到线性组合中并没有让你“走得更远”。
如果第三个向量没在前两个向量张成的平面里，当你缩放第三个向量的时候，它将前两个向量张成的平面沿着它的方向来回移动，从而扫过整个空间。换句话说，你完全利用了第三个向量，从而得到三维空间中所有的向量。
回到“线性相关”的概念，现在我们可以这样说：
- 当你有一组向量，你可以移除其中的一个而使张成空间不变，相关术语称它们是“线性相关”的。
另一种表述方法是：
- 一个向量可以表示为其它向量的线性组合，即落在了其它向量的张成空间内，则称它们是“线性相关”的。
另一方面，如果所有向量都给张成空间增加了新的维度，它们就被称为是“线性无关”的。
最后，我们就可以引出基的严格定义：
向量空间的一个基是张成该空间的一个线性无关的向量集。