插值余项 + 高次插值的Runge现象 | Lagrange拉格朗日插值（二）

1. 插值余项

用Lagrange插值公式计算除插值节点以外的某一插值点x处的值，其插值误差为：
$R_n(x)=f(x)-p_n(x)$Rn​(x)=f(x)−pn​(x)
该误差实际上就是截断误差，称$R_n(x)$Rn​(x)为Lagrange插值的插值余项。

定理2：设$x_0,x_1,\cdots,x_n$x0​,x1​,⋯,xn​为区间$[a,b]$[a,b]内的n+1个插值节点，而函数$f(x)$f(x)在$[a,b]$[a,b]内有一阶至n+1阶导数，且已给定$y_i=f(x_i)(i=0,1,2,\cdots,n)$yi​=f(xi​)(i=0,1,2,⋯,n)，则当$x\in[a,b]$x∈[a,b]时，由Lagrange插值公式（8）计算的$p_n(x)$pn​(x)与$f(x)$f(x)的误差为：
$R_n(x)=f(x)-p_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\varphi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n(x-x_i) \tag{9}$Rn​(x)=f(x)−pn​(x)=(n+1)!f(n+1)(φ)​i=0∏n​(x−xi​)(9)
式中$\varphi$φ是依赖x的，它包含在由插值节点$x_0,x_1,\cdots,x_n$x0​,x1​,⋯,xn​和x所界定的$(a,b)$(a,b)范围内。

插值余项公式（9）给出了用$p_n(x)$pn​(x)来近似代替$f(x)$f(x)的截断误差$R_n(x)$Rn​(x)。在实际应用中，对于制定的精度$\epsilon$ϵ，要求插值的$R_n(x)\leq \epsilon$Rn​(x)≤ϵ。

根据（9）式计算插值余项，前提条件是必须已知函数$f(x)$f(x)在$[a,b]$[a,b]内的n+1阶导数。而实际情况却恰恰相反，根本不能确定函数$f(x)$f(x)及其n+1阶导数，仅仅知道离散的插值节点和对应的函数值，即$(x_i,y_i)(i=0,1,2,\cdots,n)$(xi​,yi​)(i=0,1,2,⋯,n)。那么，可采用下面的方法保证插值的计算精度。

设$L_n(x)$Ln​(x)为$f(x)$f(x)关于n个插值节点$(x_0,x_1,\cdots,x_n)$(x0​,x1​,⋯,xn​)的插值多项式，为了估计误差$f(x)-L_n(x)$f(x)−Ln​(x)，另取一个插值节点$x_{n+1}$xn+1​，设$\overline L_n(x)$Ln​(x)为$f(x)$f(x)关于n个插值节点$(x_1,\cdots,x_n,x_{n+1})$(x1​,⋯,xn​,xn+1​)的插值多项式。根据插值余项定理，有：
$f(x)-L_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n(x-x_i)$f(x)−Ln​(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)​i=0∏n​(x−xi​)

$f(x)-\overline L_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\eta)}{(n+1)!}\prod_{i=1}^{n+1}(x-x_i)$f(x)−Ln​(x)=(n+1)!f(n+1)(η)​i=1∏n+1​(x−xi​)

故
$\frac{f(x)-L_n(x)}{f(x)-\overline L_n(x)}=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{f^{(n+1)}(\eta)}·\frac{x-x_0}{x-x_{n+1}}$f(x)−Ln​(x)f(x)−Ln​(x)​=f(n+1)(η)f(n+1)(ξ)​⋅x−xn+1​x−x0​​
若$f^{(n+1)}(x)$f(n+1)(x)在插值区间上变化不大，则$f^{(n+1)}(\xi)\approx f^{(n+1)}(\eta)$f(n+1)(ξ)≈f(n+1)(η)，有：
$f(x)-L_n(x)\approx \frac{x-x_0}{x_0-x_{n+1}}(L_n(x)-\overline L_n(x))$f(x)−Ln​(x)≈x0​−xn+1​x−x0​​(Ln​(x)−Ln​(x))
只要$L_n(x)-\overline L_n(x)$Ln​(x)−Ln​(x)足够小，就能保证$f(x)-L_n(x) < \epsilon$f(x)−Ln​(x)<ϵ。这种利用相关两次的插值计算结果来估计误差大小的方法，称为事后误差估计方法。

2. 高次插值的Runge（龙格）现象

在区间$[a,b]$[a,b]上，运用Lagrange插值公式进行插值，插值节点数越多，插值多项式的次数越高，插值函数和被插值函数重合的点（在插值节点上）也越多，插值计算结果的精度是否也越高呢？

定义2：设有$n+1$n+1个插值节点的插值多项式为$p_n(x)$pn​(x)，如果对于任意的$\epsilon>0$ϵ>0，存在正整数N，当$n>N$n>N时，对被插值的函数$f(x)$f(x)及所有$x\in [a,b]$x∈[a,b]，有
$f(x)-p_n(x)<\epsilon$f(x)−pn​(x)<ϵ
成立，则称$p_n(x)$pn​(x)一致收敛于$f(x)$f(x)。

考察$[-1,1]$[−1,1]区间内等节距点的$f(x)$f(x)的Lagrange插值。对于像$sin\,x$sinx和$e^x$ex这样性态较好的函数，其所有导数有同样的常数界M，误差$R_n(x)=f(x)-p_n(x)$Rn​(x)=f(x)−pn​(x)随着n的增加而趋向零，因此增加插值节点数有利于提高插值结果的精度。但在一般情况下，答案是否定的。例如，对于函数$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$f(x)=1+x21​，当$n\to \infty$n→∞时，$R_n(x)$Rn​(x)是增加的。

若节点数增加，则振荡加剧，该问题是由于插值节点是等距造成的，这种对等距插值节点进行高次插值时发生的不收敛现象称为Runge现象。

一般，为减小Lagrange插值的阶段误差，提高插值精度，可以采用如下措施：

（1）在插值区间内，只能在一定范围$(n\leq 7)$(n≤7)内依靠增加插值节点的方法提高插值精度，并应该尽量避免使用高次插值，以防止出现Runge现象。

（2）修改插值条件，如要求插值函数和被插值函数在某些节点具有相同导数，则应采用Hermite（埃尔米特）插值等。

（3）减小插值区间或将插值区间分成若干小段，并在每一小段上使用低次插值，即采用分段插值和样条插值。