Filter Bank 浅谈一二
语音信号中子带处理技术用的较为频繁，涉及到子带技术，不得不说说Filterbank
一、最简单的两通道的滤波器组
如下图，它有最基本的一些单元，比如分析滤波器，合成滤波器，插值和抽取。
其中H0，H1可以理解为低通、高通滤波器。比如对一段音频进行低高通滤波，然后降采样，升采样，最后合成。他们的频谱关系如下图，从图中看，滤波器我就不说了，效果很明显。
这里有个问题就是为什么降采样，不做行不行？你不是多子带处理么，那我不是已经通过各个滤波器不是嗷嗷分解成各个subband了么？那干嘛还要抽取（降采样）？
答：可以不做降采样！因为分频带已经通过滤波器完成了，降采样只是为了频谱扩展，减少信息量。你原来fs就能表达的信号，我现在变成子带处理只需要用fs/2的分辨率就够了，信息精简了，不做采样完全没有问题！关键看你要干嘛。（很多子带处理是要做编解码）
实际上降采样（或者叫抽取）是为了频谱拉伸，信号系统中，抽取的作用相当于把信号频谱拉伸（不规范，先这么理解的），这样信号就均匀布满信号频域了（或者说白了就是为了更精简，为了更进一步编码或者下一步信号处理什么的做基础，你不抽取其实也可以信号已经被滤波出来）
二、说一些实际上常常用的 uniform DFT modulated filter bank
先上一张系统图，这里面包含M个通道，另外抽取和插值也刚好是M（这个图是个示意图，很多细节忽略了，后面我会讲到）
需要设计M个分析滤波器，假如我现在犯懒了只想设计一个 （叫Proto Filter）剩下的M-1个我用“尺子”把它推巴到合适的位置，这时候需要 卷积 exp(-j*wo*n),wo=2*pi*k*n/N,k=0,1...N-1 它的作用相当于调制到每个频率中心点上去，所以有了uniform(统一的）modulated（调制的）的形容词
如下图，我做了一个原型滤波器（M=4），并且将它调制到合适的位置成为complex filter（复数滤波器的好处就是频域不需要镜像对称）四个滤波器组成滤波器组，他们严格交叠在-3dB处，且带宽一致。注意频谱范围是（0-2*pi，而不是0-pi，因为是复频域，呵呵）
现在看好像还和DFT没半点 毛线 关系...我们根据信号处理的一些规则
多相分解的格式变化如下：（其中E和R是原型滤波器多相分解，可以参考https://blog.****.net/shichaog/article/details/77379998）
这样做的目的，在进入并行的滤波器之前做抽取，需要进行的卷积运算量将大大减少！
注意 合成滤波器（右下）那边的R，是从R3到R0，不是R0到R3，这些地方网上很多标错！
这中间的F和F*是什么意思？这里就要和DFT挂上关系了
这里面延迟器、抽取、插值、分析和合成滤波器都安排好了，就差“调制系数”了，这个调制系数就是 exp(-j*wo*n)
根据下面的公式
多相输入还得各路按权重加和，而这个权重就是W
上一下DFT和IDFT的公式：
所以上一下严格的框架图：
这里面要注意几点
1、输入出入都要有延时器，一阶延时，有的地方喜欢用过Δ，有的地方喜欢用D表示
2、注意延时，输入这边是1，Z^-1, Z^-2, Z^-3,... 输出那边是Z^-3, Z^-2, Z^-1, 1
3、注意合成滤波器，是R3 R2 R1 R0，它们是合成滤波器原型的多相分解的顺序倒置（知道为啥叫多相么？它们组之间的相位差固定，呵呵）
4、中间的变换是 IDFT 完了才是 DFT，有的文献喜欢写成 IMDFT，（是的，只能做M point 的IDFT）
说的差不多了， 撸一段代码：
有个问题，时域信号经过一些变换，怎么还能用IDFT？？，你时域信号怎么做IDFT，一般不是频域信号做IDFT么？那时域信号做IDFT之后的是什么物理含义？
三、什么是 Oversampled uniform DFT modulated filter bank
名字超长超赞的，先看看定义:
For auniform filter-bank, the bandwidths of all subband filters are equal and the same subsampling rateR i = R is taken for each subband signal. Critical subsampling is performed if R = M . An oversampled filter-bank performs non-critical subsampling whereR<M .
降采样倍率R（subsampling rate，有的文献喜欢说decimated（你在matlab运行一下就知道它是干嘛的了））
M分子带个数（子带个数，频带个数，分band个数，分通道个数）
R<M 过采样
R=M临界采样
R>M 欠采样
一般来说，过采样和临界采样不过产生频谱混叠（为啥？）
过采样，采样倍率没有通道个数多，那么频谱扩展肯定不会交叠（扩展倍率没有通道个数多）但是不会fully perfect reconstruction（完全的重构）需要多次经过filter bank做叠加弥补处理。
看一下oversamped的优势，可以增加合成滤波器自由度，降低频响error和残余谱泄失真