高等数学期末总复习 DAY4. 利用莱布尼茨定理求高阶导 隐函数求导 对数求导法 参数函数求导 用导数求切线、法线 函数的微分

DAY 4.

这世上总要有个明白人，懂得克制。

1. 利用莱布尼茨定理求高阶导

只看两点：
1、常用导数的高阶公式
2、例题

例题：

2.隐函数求导

这种方程里面y是x的函数，但是不显性。

例题1
设 $y = y(x), y^2 - 2xy +9 = 0$y=y(x),y2−2xy+9=0 求 $\frac{d_y}{d_x}$dx​dy​​

解：方程两边同时对x求导得

$2yy' - 2y - 2xy' = 0$2yy′−2y−2xy′=0

$\frac{d_y}{d_x}$dx​dy​​ = $\frac{y}{y - x}$y−xy​

3.对数求导

例题2

$y = (\frac {x}{1+x}) ^x$y=(1+xx​)x 求 y 的一阶导

解：方程两边同时取对数有

$\ln y = x \ln(\frac {x}{1+x})$lny=xln(1+xx​)

方程两边同时对x求导得

$\frac{y'}{y} = \ln(\frac {x}{1+x}) + x(\frac{1}{x} - \frac{1}{1+x})$yy′​=ln(1+xx​)+x(x1​−1+x1​)

$y' = y(\ln(\frac {x}{1+x}) + 1 - \frac{x}{1+x})$y′=y(ln(1+xx​)+1−1+xx​)

$y' = (\frac {x}{1+x}) ^x(\ln(\frac {x}{1+x}) +\frac{1}{1+x})$y′=(1+xx​)x(ln(1+xx​)+1+x1​)

4.参数函数求导

例题3

$\begin{cases} x = \frac{t^2}{2}& \text{}\\y = 1-t& \text{} \end{cases}${x=2t2​y=1−t​​ 求 $\frac{d_y}{d_x}$dx​dy​​, $\frac{d^2_y}{d_x{^2}}$dx​2dy2​​

解：

$\frac{d_y}{d_x}$dx​dy​​ = $\frac{(1-t)'}{\frac {t^2}{2}'}$2t2​′(1−t)′​ = $\frac { - 1}{t}$t−1​

$\frac{d^2_y}{d_x{^2}}$dx​2dy2​​ = $\frac{\frac{-1}{t}'}{\frac {t^2}{2}'}$2t2​′t−1​′​ = $\frac{1}{t^3}$t31​

5.用导数求切线、法线

这部分的内容和我们在高中学的差不多，基本就是求导数得斜率，再点差法写方程

例题4

求 $y = \cos x$y=cosx 在 点$(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2})$(3π​,21​) 处的切线与法线方程。

解：对y求导得：

$y = -\sin x$y=−sinx 代入点得切线的斜率k = $- \frac{\sqrt 3}{2}$−23​​

由点差法可得切线的方程为：$y- \frac{1}{2} = - \frac{\sqrt 3}{2}(x -\frac{\pi}{3} )$y−21​=−23​​(x−3π​)

而函数的法线方程就只需要将斜率改写为 $\frac{2}{\sqrt 3}$3​2​

6.函数的微分

和前面函数的求导一样的只不过要在结尾加上 $d_x$dx​

例题5

已知 $y = x\sin 2x$y=xsin2x ，则 $d_y =$dy​= ___ $d_x$dx​

解：$d_y = (\sin 2x + x \cos 2x * 2$dy​=(sin2x+xcos2x∗2)$d_x$dx​ = $(\sin 2x + 2x \cos 2x$(sin2x+2xcos2x)$d_x$dx​